Длину вектора a → будем обозначать a → . Данное обозначение аналогично модулю числа, поэтому длину вектора также называют модулем вектора.

Для нахождения длины вектора на плоскости по его координатам, требуется рассмотреть прямоугольную декартову систему координат O x y . Пусть в ней задан некоторый вектор a → с координатами a x ; a y . Введем формулу для нахождения длины (модуля) вектора a → через координаты a x и a y .

От начала координат отложим вектор O A → = a → . Определим соответственные проекции точки A на координатные оси как A x и A y . Теперь рассмотрим прямоугольник O A x A A y с диагональю O A .

Из теоремы Пифагора следует равенство O A 2 = O A x 2 + O A y 2 , откуда O A = O A x 2 + O A y 2 . Из уже известного определения координат вектора в прямоугольной декартовой системе координат получаем, что O A x 2 = a x 2 и O A y 2 = a y 2 , а по построению длина O A равна длине вектора O A → , значит, O A → = O A x 2 + O A y 2 .

Отсюда получается, что формула для нахождения длины вектора a → = a x ; a y имеет соответствующий вид: a → = a x 2 + a y 2 .

Если вектор a → дан в виде разложения по координатным векторам a → = a x · i → + a y · j → , то вычислить его длину можно по той же формуле a → = a x 2 + a y 2 , в данном случае коэффициенты a x и a y выступают в роли координат вектора a → в заданной системе координат.

Пример 1

Вычислить длину вектора a → = 7 ; e , заданного в прямоугольной системе координат.

Решение

Чтобы найти длину вектора, будем использовать формулу нахождения длины вектора по координатам a → = a x 2 + a y 2: a → = 7 2 + e 2 = 49 + e

Ответ: a → = 49 + e .

Формула для нахождения длины вектора a → = a x ; a y ; a z по его координатам в декартовой системе координат Oxyz в пространстве, выводится аналогично формуле для случая на плоскости (см. рисунок ниже)

В данном случае O A 2 = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 (так как ОА – диагональ прямоугольного параллелепипеда), отсюда O A = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 . Из определения координат вектора можем записать следующие равенства O A x = a x ; O A y = a y ; O A z = a z ; , а длина ОА равна длине вектора, которую мы ищем, следовательно, O A → = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 .

Отсюда следует, что длина вектора a → = a x ; a y ; a z равна a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 .

Пример 2

Вычислить длину вектора a → = 4 · i → - 3 · j → + 5 · k → , где i → , j → , k → - орты прямоугольной системы координат.

Решение

Дано разложение вектора a → = 4 · i → - 3 · j → + 5 · k → , его координаты равны a → = 4 , - 3 , 5 . Используя выше выведенную формулу получим a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 4 2 + (- 3) 2 + 5 2 = 5 2 .

Ответ: a → = 5 2 .

Длина вектора через координаты точек его начала и конца

Выше были выведены формулы, позволяющие находить длины вектора по его координатам. Мы рассмотрели случаи на плоскости и в трехмерном пространстве. Воспользуемся ими для нахождения координат вектора по координатам точек его начала и конца.

Итак, даны точки с заданными координатами A (a x ; a y) и B (b x ; b y) , отсюда вектор A B → имеет координаты (b x - a x ; b y - a y) значит, его длина может быть определена по формуле: A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2

А если даны точки с заданными координатами A (a x ; a y ; a z) и B (b x ; b y ; b z) в трехмерном пространстве, то длину вектора A B → можно вычислить по формуле

A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2

Пример 3

Найти длину вектора A B → , если в прямоугольной системе координат A 1 , 3 , B - 3 , 1 .

Решение

Используя формулу нахождения длины вектора по координатам точек начала и конца на плоскости, получим A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2: A B → = (- 3 - 1) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 .

Второй вариант решения подразумевает под собой применение данных формул по очереди: A B → = (- 3 - 1 ; 1 - 3) = (- 4 ; 1 - 3) ; A B → = (- 4) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 . -

Ответ: A B → = 20 - 2 3 .

Пример 4

Определить, при каких значениях длина вектора A B → равна 30 , если A (0 , 1 , 2) ; B (5 , 2 , λ 2) .

Решение

Для начала распишем длину вектора A B → по формуле: A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2 = (5 - 0) 2 + (2 - 1) 2 + (λ 2 - 2) 2 = 26 + (λ 2 - 2) 2

Затем полученное выражение приравняем к 30 , отсюда найдем искомые λ:

26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 (λ 2 - 2) 2 = 4 λ 2 - 2 = 2 и л и λ 2 - 2 = - 2 λ 1 = - 2 , λ 2 = 2 , λ 3 = 0 .

Ответ: λ 1 = - 2 , λ 2 = 2 , λ 3 = 0 .

Нахождение длины вектора по теореме косинусов

Увы, но в задачах не всегда бывают известны координаты вектора, поэтому рассмотрим другие способы нахождения длины вектора.

Пусть заданы длины двух векторов A B → , A C → и угол между ними (или косинус угла), а требуется найти длину вектора B C → или C B → . В таком случае, следует воспользоваться теоремой косинусов в треугольнике △ A B C , вычислить длину стороны B C , которая и равна искомой длине вектора.

Рассмотрим такой случай на следующем примере.

Пример 5

Длины векторов A B → и A C → равны 3 и 7 соответственно, а угол между ними равен π 3 . Вычислить длину вектора B C → .

Решение

Длина вектора B C → в данном случае равна длине стороны B C треугольника △ A B C . Длины сторон A B и A C треугольника известны из условия (они равны длинам соответствующих векторов), также известен угол между ними, поэтому мы можем воспользоваться теоремой косинусов: B C 2 = A B 2 + A C 2 - 2 · A B · A C · cos ∠ (A B , → A C →) = 3 2 + 7 2 - 2 · 3 · 7 · cos π 3 = 37 ⇒ B C = 37 Таким образом, B C → = 37 .

Ответ: B C → = 37 .

Итак, для нахождения длины вектора по координатам существуют следующие формулы a → = a x 2 + a y 2 или a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 , по координатам точек начала и конца вектора A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 или A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2 , в некоторых случаях следует использовать теорему косинусов.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

6.4. Некоторые приложения скалярного произведения

11. Выражение скалярного произведения вектора через координаты сомножителей. Теорема.

12. Длина вектора, длина отрезка, угол между векторами, условие перпендикулярности векторов.

13. Векторное произведение векторов, его свойства. Площадь параллелограмма.

14. Смешанное произведение векторов, его свойства. Условие компланарности вектора. Объем параллелепипеда. Объём пирамиды.

15. Способы задания прямой на плоскости.

16. Нормальное уравнение прямой на плоскости (вывод). Геометрический смысл коэффициентов.

17. Уравнение прямой на плоскости в отрезках (вывод).

Приведение общего уравнения плоскости к уравнению плоскости в отрезках.

18. Уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом (вывод).

19. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через две точки (вывод).

20. Угол между прямыми на плоскости (вывод).

21. Расстояние от точки до прямой на плоскости (вывод).

22. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости (вывод).

23. Уравнение плоскости. Нормальное уравнение плоскости (вывод). Геометрический смысл коэффициентов.

24. Уравнение плоскости в отрезках (вывод).

25. Уравнение плоскости, проходящей через три точки (вывод).

26. Угол между плоскостями (вывод).

27. Расстояние от точки до плоскости (вывод).

28. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей (вывод).

29. Уравнения прямой в r3. Уравнения прямой, проходящей через две фиксированные точки (вывод).

30. Канонические уравнения прямой в пространстве (вывод).

Составление канонических уравнений прямой в пространстве.

Частные случаи канонических уравнений прямой в пространстве.

Канонические уравнения прямой проходящей через две заданные точки пространства.

Переход от канонических уравнений прямой в пространстве к другим видам уравнений прямой.

31. Угол между прямыми (вывод).

32. Расстояние от точки до прямой на плоскости (вывод).

Расстояние от точки до прямой на плоскости – теория, примеры, решения.

Первый способ нахождения расстояния от заданной точки до заданной прямой на плоскости.

Второй способ, позволяющий найти расстояние от заданной точки до заданной прямой на плоскости.

Решение задач на нахождение расстояния от заданной точки до заданной прямой на плоскости.

Расстояние от точки до прямой в пространстве – теория, примеры, решения.

Первый способ нахождения расстояния от точки до прямойaв пространстве.

Второй способ, позволяющий находить расстояние от точки до прямойaв пространстве.

33. Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.

34. Взаимное расположение прямых в пространстве и прямой с плоскостью.

35. Классическое уравнение эллипса (вывод) и его построение. Каноническое уравнение эллипса имеет вид, где– положительные действительные числа, причём.Как построить эллипс?

36. Классическое уравнение гиперболы (вывод) и его построение. Асимптоты.

37. Каноническое уравнение параболы (вывод) и построение.

38. Функция. Основные определения. Графики основных элементарных функций.

39. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности.

40. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Теорема о связи между ними, свойства.

41. Теоремы о действиях над переменными величинами, имеющими конечные пределы.

42. Число e.

Содержание

Способы определения

Свойства

История

Приближения

43. Определение предела функции. Раскрытие неопределённостей.

44. Замечательные пределы, их вывод. Эквивалентные бесконечно малые величины.

Содержание

Первый замечательный предел

Второй замечательный предел

45. Односторонние пределы. Непрерывность и разрывы функции. Односторонние пределы

Левый и правый пределы функции

Точка разрыва первого рода

Точка разрыва второго рода

Точка устранимого разрыва

46. Определение производной. Геометрический смысл, механический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к кривой и точке.

47. Теоремы о производной обратной, сложной функций.

48. Производные простейших элементарных функций.

49. Дифференцирование параметрических, неявных и степенно-показательных функций.

21. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций

21.1. Неявно заданная функция

21.2. Функция, заданная параметрически

50. Производные высших порядков. Формула Тейлора.

51. Дифференциал. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

52. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя.

53. Теорема о необходимом и достаточном условиях монотонности функции.

54. Определение максимума, минимума функции. Теоремы о необходимом и достаточном условиях существования экстремума функции.

Теорема (необходимое условие экстремума)

55. Выпуклость и вогнутость кривых. Точки перегиба. Теоремы о необходимом и достаточном условиях существования точек перегиба.

Доказательство

57. Определители n-ого порядка, их свойства.

58. Матрицы и действия над ними. Ранг матрицы.

Определение

Связанные определения

Свойства

Линейное преобразование и ранг матрицы

59. Обратная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы.

60. Системы линейных уравнений. Матричное решение систем линейных уравнений. Правило Крамера. Метод Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли.

Решение систем линейных алгебраических уравнений, методы решения, примеры.

Определения, понятия, обозначения.

Решение элементарных систем линейных алгебраических уравнений.

Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом (с помощью обратной матрицы).

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Решение систем линейных алгебраических уравнений общего вида.

Теорема Кронекера – Капелли.

Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений общего вида.

Запись общего решения однородных и неоднородных систем линейных алгебраических с помощью векторов фундаментальной системы решений.

Решение систем уравнений, сводящихся к слау.

Примеры задач, сводящихся к решению систем линейных алгебраических уравнений.

12. Длина вектора, длина отрезка, угол между векторами, условие перпендикулярности векторов.

Вектор – это направленный отрезок, соединяющий две точки в пространстве или в плоскости. Векторы обычно обозначаются либо маленькими буквами, либо начальной и конечной точками. Сверху обычно ставят чёрточку.

Например, вектор, направленный из точки A к точке B , можно обозначить a ,

Нулевой вектор 0 или 0 - это вектор, у которого начальная и конечная точки совпадают, т.e. A = B . Отсюда, 0 = – 0 .

Длина (модуль) вектора a - это длина отображающего его отрезка AB, обозначается | a | . В частности, | 0 | = 0.

Векторы называются коллинеарными , если их направленные отрезки лежат на параллельных прямых. Коллинеарные векторы a и b обозначаются a || b .

Три и более векторов называются компланарными , если они лежат в одной плоскости.

Сложение векторов. Так как векторы - это направленные отрезки, то их сложение может быть выполнено геометрически . (Алгебраическое сложение векторов изложено ниже, в пункте «Единичные ортогональные векторы»). Предположим, что

a = AB and b = CD ,

тогда вектор __ __

a + b = AB + CD

есть результат выполнения двух операций:

a ) параллельного переноса одногоиз векторов таким образом, чтобы его начальная точка совпала с конечной точкой второго вектора;

б ) геометрического сложения , т.е. построения результирующего вектора, идущего от начальной точки неподвижного вектора к конечной точке перенесённого вектора.

Вычитание векторов. Эта операция сводится к предыдущей путём замены вычитаемого вектора на противоположный: a – b = a + (– b ) .

Законы сложения.

I. a + b = b + a (П е р е м е с т и т е л ь н ы й закон).

II. (a + b ) + c = a + (b + c ) (С о ч е т а т е л ь н ы й закон).

III. a + 0 = a .

IV. a + (– a ) = 0 .

Законы умножения вектора на число.

I. 1 · a = a , 0 · a = 0 , m · 0 = 0 , (– 1) · a = – a .

II. m a = a m , | m a | = | m | · | a | .

III. m (n a ) = (m n) a . (С о ч е т а т е л ь н ы й

закон умножения на число ).

IV. (m + n ) a = m a + n a , (Р а с п р е д е л и т е л ь н ы й

m (a + b ) = m a + m b . закон умножения на число ).

Скалярное произведение векторов. __ __

Угол между ненулевыми векторами AB и CD – это угол, образованный векторами при их параллельном переносе до совмещения точек A и C. Скалярным произведением векторов a и b называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними:

Если один из векторов нулевой, то их скалярное произведение в соответствии с определением равно нулю:

( a , 0 ) = ( 0 , b ) = 0 .

Если оба вектора ненулевые, то косинус угла между ними вычисляется по формуле:

Скалярное произведение (a , a ), равное | a | 2 , называется скалярным квадратом. Длина вектора a и его скалярный квадрат связаны соотношением:

Скалярное произведение двух векторов:

- положительно , если угол между векторами острый ;

- отрицательно, если угол между векторами тупой .

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда угол между ними прямой, т.е. когда эти векторы перпендикулярны (ортогональны):

Свойства скалярного произведения. Для любых векторов a , b , c и любого числа m справедливы следующие соотношения:

I. (a , b ) = ( b , a ) . (П е р е м е с т и т е л ь н ы й закон)

II. (m a , b ) = m ( a , b ) .

III. (a + b , c ) = (a , c ) + (b , c ). (Р а с п р е д е л и т е л ь н ы й закон)

Единичные ортогональные векторы. В любой прямоугольной системе координат можно ввести единичные попарно ортогональные векторы i , j и k , связанные с координатными осями: i – с осью Х , j – с осью Y и k – с осью Z . В соответствии с этим определением:

(i , j ) = (i , k ) = (j , k ) = 0,

| i | = | j | = | k | = 1.

Любой вектор a может быть выражен через эти векторы единственным образом: a = x i + y j + z k . Другая форма записи: a = (x, y, z ). Здесь x , y , z - координаты вектора a в этой системе координат. В соответствии с последним соотношением и свойствами единичных ортогональных векторов i, j , k скалярное произведение двух векторов можно выразить иначе.

Пусть a = (x, y, z ); b = (u, v, w ). Тогда ( a , b ) = xu + yv + zw .

Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат.

Длина (модуль) вектора a = (x , y , z ) равна:

Кроме того, теперь мы получаем возможность проведения алгебраических операций над векторами, а именно, сложение и вычитание векторов может выполняться по координатам:

a + b = (x + u , y + v , z + w ) ;

a – b = (x – u , y – v , z – w ) .

Векторное произведение векторов. Векторным произведением [a, b ] векторов a и b (в указанном порядке) называется вектор:

Существует другая формула длины вектора [ a, b ] :

| [ a, b ] | = | a | | b | sin (a, b ) ,

т.e. длина ( модуль ) векторного произведения векторов a и b равна произведению длин (модулей) этих векторов на синус угла между ними. Иначе говоря: длина (модуль) вектора [ a, b ] численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b .

Свойства векторного произведения.

I. Вектор [ a, b ] перпендикулярен (ортогонален) обоим векторам a и b .

(Докажите это, пожалуйста!) .

II. [ a , b ] = – [ b , a ] .

III. [ m a , b ] = m [ a , b ] .

IV. [ a + b , c ] = [ a , c ] + [ b , c ] .

V. [ a , [ b , c ] ] = b (a , c ) – c ( a , b ) .

VI. [ [ a , b ] , c ] = b (a , c ) – a (b , c ) .

Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов a = (x, y, z ) и b = (u, v, w ) :

Необходимое и достаточное условие компланарности векторов a = (x, y, z ), b = (u, v, w ) и c = (p, q, r ) :

П р и м е р. Даны векторы: a = (1, 2, 3) и b = (– 2 , 0 ,4).

Вычислить их скалярное и векторное произведения и угол

между этими векторами.

Р е ш е н и е. Используя соответствующие формулы (см. выше), получим:

a). скалярное произведение:

( a , b ) = 1 · (– 2) + 2 · 0 + 3 · 4 = 10 ;

б). векторное произведение:

"

Прежде всего надо разобрать само понятие вектора. Для того, чтобы ввести определение геометрического вектора вспомним, что такое отрезок . Введем следующее определение.

Определение 1

Отрезком будем называть часть прямой, которая имеет две границы в виде точек.

Отрезок может иметь 2 направления. Для обозначения направления будем называть одну из границ отрезка его началом, а другую границу - его концом. Направление указывается от его начала к концу отрезка.

Определение 2

Вектором или направленным отрезком будем называть такой отрезок, для которого известно, какая из границ отрезка считается началом, а какая его концом.

Обозначение: Двумя буквами: $\overline{AB}$ – (где $A$ его начало, а $B$ – его конец).

Одной маленькой буквой: $\overline{a}$ (рис. 1).

Введем теперь, непосредственно, понятие длин вектора.

Определение 3

Длиной вектора $\overline{a}$ будем называть длину отрезка $a$.

Обозначение: $|\overline{a}|$

Понятие длины вектора связано, к примеру, с таким понятием, как равенство двух векторов.

Определение 4

Два вектора будем называть равными, если они удовлетворяют двух условиям: 1. Они сонаправлены; 1. Их длины равны (рис. 2).

Для того, чтобы определять векторы вводят систему координат и определяют координаты для вектора во введенной системе. Как мы знаем, любой вектор можно разложить в виде $\overline{c}=m\overline{i}+n\overline{j}$, где $m$ и $n$ – действительные числа, а $\overline{i}$ и $\overline{j}$ - единичные векторы на оси $Ox$ и $Oy$, соответственно.

Определение 5

Коэффициенты разложения вектора $\overline{c}=m\overline{i}+n\overline{j}$ будем называть координатами этого вектора во введенной системе координат. Математически:

$\overline{c}={m,n}$

Как найти длину вектора?

Для того, чтобы вывести формулу для вычисления длины произвольного вектора по данным его координатам рассмотрим следующую задачу:

Пример 1

Дано: вектор $\overline{α}$, имеющий координаты ${x,y}$. Найти: длину этого вектора.

Введем на плоскости декартову систему координат $xOy$. От начал введенной системы координат отложим $\overline{OA}=\overline{a}$. Построим проекции $OA_1$ и $OA_2$ построенного вектора на оси $Ox$ и $Oy$, соответственно (рис. 3).

Построенный нами вектор $\overline{OA}$ будет радиус вектором для точки $A$, следовательно, она будет иметь координаты ${x,y}$, значит

$=x$, $[ OA_2]=y$

Теперь мы легко можем найти искомую длину с помощью теоремы Пифагора, получим

$|\overline{α}|^2=^2+^2$

$|\overline{α}|^2=x^2+y^2$

$|\overline{α}|=\sqrt{x^2+y^2}$

Ответ: $\sqrt{x^2+y^2}$.

Вывод: Чтобы найти длину вектора, у которого задан его координаты, необходимо найти корень из квадрата суммы этих координат.

Пример задач

Пример 2

Найдите расстояние между точками $X$ и $Y$, которые имеют следующие координаты: $(-1,5)$ и $(7,3)$, соответственно.

Любые две точки можно легко связать с понятием вектора. Рассмотрим, к примеру, вектор $\overline{XY}$. Как мы уже знаем, координаты такого вектора можно найти, вычтя из координат конечной точки ($Y$) соответствующие координаты начальной точки ($X$). Получим, что

Oxy

О А ОА .

, откуда ОА .

Таким образом, .

Рассмотрим пример.

Пример.

Решение.

:

Ответ:

Oxyz в пространстве.

А ОА будет диагональю.

В этом случае (так как ОА ОА .

Таким образом, длина вектора .

Пример.

Вычислите длину вектора

Решение.

, следовательно,

Ответ:

Прямая на плоскости

Общее уравнение

Ax + By + C ( > 0).

Вектор = (А; В) - нормальный вектор прямой.

В векторном виде: + С = 0 , где - радиус-вектор произвольной точки на прямой (рис. 4.11).

Частные случаи:

1) By + C = 0 - прямая параллельна оси Ox ;

2) Ax + C = 0 - прямая параллельна оси Oy ;

3) Ax + By = 0 - прямая проходит через начало координат;

4) y = 0 - ось Ox ;

5) x = 0 - ось Oy .

Уравнение прямой в отрезках

где a, b - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

Нормальное уравнение прямой (рис. 4.11)

где - угол, образуемый нормально к прямой и осью Ox ; p - расстояние от начала координат до прямой.

Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду:

Здесь - нормируемый множитель прямой; знак выбирается противоположным знаку C , если и произвольно, если C = 0 .

Нахождение длины вектора по координатам.

Длину вектора будем обозначать . Из-за такого обозначения длину вектора часто называют модулем вектора.

Начнем с нахождения длины вектора на плоскости по координатам.

Введем на плоскости прямоугольную декартову систему координат Oxy . Пусть в ней задан вектор и он имеет координаты . Получим формулу, позволяющую находить длину вектора через координаты и .

Отложим от начала координат (от точки О ) вектор . Обозначим проекции точки А на координатные оси как и соответственно и рассмотрим прямоугольник с диагональю ОА .

В силу теоремы Пифагора справедливо равенство , откуда . Из определения координат вектора в прямоугольной системе координатмы можем утверждать, что и , а по построению длина ОА равна длине вектора , следовательно, .

Таким образом, формула для нахождения длины вектора по его координатам на плоскости имеет вид .

Если вектор представлен в виде разложения по координатным векторам , то его длина вычисляется по этой же формуле , так как в этом случае коэффициенты и являются координатами вектора в заданной системе координат.

Рассмотрим пример.

Пример.

Найдите длину вектора , заданного в декартовой системе координат.

Решение.

Сразу применяем формулу для нахождения длины вектора по координатам :

Ответ:

Теперь получим формулу для нахождения длины вектора по его координатам в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве.

Отложим от начала координат вектор и обозначим проекции точки А на координатные оси как и . Тогда мы можем построить на сторонах и прямоугольный параллелепипед, в котором ОА будет диагональю.

В этом случае (так как ОА – диагональ прямоугольного параллелепипеда), откуда . Определение координат вектора позволяет нам записать равенства , а длина ОА равна искомой длине вектора, следовательно, .

Таким образом, длина вектора в пространстве равна корню квадратному из суммы квадратов его координат , то есть, находится по формуле .

Пример.

Вычислите длину вектора , где - орты прямоугольной системы координат.

Решение.

Нам дано разложение вектора по координатным векторам вида , следовательно, . Тогда по формуле нахождения длины вектора по координатам имеем .

Прежде всего надо разобрать само понятие вектора. Для того, чтобы ввести определение геометрического вектора вспомним, что такое отрезок . Введем следующее определение.

Определение 1

Отрезком будем называть часть прямой, которая имеет две границы в виде точек.

Отрезок может иметь 2 направления. Для обозначения направления будем называть одну из границ отрезка его началом, а другую границу - его концом. Направление указывается от его начала к концу отрезка.

Определение 2

Вектором или направленным отрезком будем называть такой отрезок, для которого известно, какая из границ отрезка считается началом, а какая его концом.

Обозначение: Двумя буквами: $\overline{AB}$ – (где $A$ его начало, а $B$ – его конец).

Одной маленькой буквой: $\overline{a}$ (рис. 1).

Введем теперь, непосредственно, понятие длин вектора.

Определение 3

Длиной вектора $\overline{a}$ будем называть длину отрезка $a$.

Обозначение: $|\overline{a}|$

Понятие длины вектора связано, к примеру, с таким понятием, как равенство двух векторов.

Определение 4

Два вектора будем называть равными, если они удовлетворяют двух условиям: 1. Они сонаправлены; 1. Их длины равны (рис. 2).

Для того, чтобы определять векторы вводят систему координат и определяют координаты для вектора во введенной системе. Как мы знаем, любой вектор можно разложить в виде $\overline{c}=m\overline{i}+n\overline{j}$, где $m$ и $n$ – действительные числа, а $\overline{i}$ и $\overline{j}$ - единичные векторы на оси $Ox$ и $Oy$, соответственно.

Определение 5

Коэффициенты разложения вектора $\overline{c}=m\overline{i}+n\overline{j}$ будем называть координатами этого вектора во введенной системе координат. Математически:

$\overline{c}={m,n}$

Как найти длину вектора?

Для того, чтобы вывести формулу для вычисления длины произвольного вектора по данным его координатам рассмотрим следующую задачу:

Пример 1

Дано: вектор $\overline{α}$, имеющий координаты ${x,y}$. Найти: длину этого вектора.

Введем на плоскости декартову систему координат $xOy$. От начал введенной системы координат отложим $\overline{OA}=\overline{a}$. Построим проекции $OA_1$ и $OA_2$ построенного вектора на оси $Ox$ и $Oy$, соответственно (рис. 3).

Построенный нами вектор $\overline{OA}$ будет радиус вектором для точки $A$, следовательно, она будет иметь координаты ${x,y}$, значит

$=x$, $[ OA_2]=y$

Теперь мы легко можем найти искомую длину с помощью теоремы Пифагора, получим

$|\overline{α}|^2=^2+^2$

$|\overline{α}|^2=x^2+y^2$

$|\overline{α}|=\sqrt{x^2+y^2}$

Ответ: $\sqrt{x^2+y^2}$.

Вывод: Чтобы найти длину вектора, у которого задан его координаты, необходимо найти корень из квадрата суммы этих координат.

Пример задач

Пример 2

Найдите расстояние между точками $X$ и $Y$, которые имеют следующие координаты: $(-1,5)$ и $(7,3)$, соответственно.

Любые две точки можно легко связать с понятием вектора. Рассмотрим, к примеру, вектор $\overline{XY}$. Как мы уже знаем, координаты такого вектора можно найти, вычтя из координат конечной точки ($Y$) соответствующие координаты начальной точки ($X$). Получим, что