В исследование математических способностей внесли свой вклад такие представители определенных направлений в психологии, как А. Бинэ, Э. Торндайк и Г. Ревеш, и такие выдающиеся математики, как А.Пуанкаре и Ж. Адамар. Большое разнообразие направлений определяет и большое разнообразие в подходах к исследованию математических способностей. Все ученые сходятся во мнении, что следует различать обычные, «школьные» способности к усвоению математических знаний, к их репродуцированию, самостоятельному применению и творческие математические способности, связанные с самостоятельным созданием оригинального и имеющего общественную ценность продукта.

А. Роджерс отмечает две стороны математических способностей: репродуктивная (связанная с функцией памяти) и продуктивная (связанная с функцией мышления). В. Бетц определяет математические способности как способности ясного осознания внутренней связи математических отношений и способность точно мыслить математическими понятиями.

В статье «Психологи математического мышления» Д. Мордухай-Болтовский придавал особое значение «бессознательному мыслительному процессу», утверждая, что «мышление математика глубоко внедряется в бессознательную сферу, то всплывая на ее поверхность, то погружаясь в глубину. Математик не осознает каждого шага своей мысли, как виртуоз движений смычка». Внезапное появление в сознании готового решения какой-либо задачи, которую мы не можем долго решить, мы объясняем бессознательным мышлением, которое продолжало заниматься задачей, а результат всплывает за порог сознания. По мнению Д. Мордухай-Болтовского, наш ум способен производить кропотливую и сложную работу в подсознании, где и совершается вся «черновая» работа, причем бессознательная работа мысли даже отличается меньшей погрешностью, чем сознательная.

Д. Мордухай-Болтовский отмечает совершенно специфический характер математического таланта и математического мышления. Он утверждает, что способность к математике не всегда присуща даже гениальным людям, что между математическим и нематематическим умом есть существенная разница.

Выделяют следующие компоненты математических способностей:

• -«сильная память» (память, скорее не на факты, а на идеи и мысли);
• -«остроумие» как способность «обнимать в одном суждении» понятия из двух малосвязанных областей мысли находить в уже известном сходное с данным, отыскивать сходное в самых отдаленных, совершенно разнородных предметах;
• -«быстрота мысли» (быстрота мысли объясняется той работой, которую совершает бессознательное мышление в помощь сознательному).

Д. Мордухай-Болтовский различает типы математического воображения, которые лежат в основе разных типов математиков - «алгебраистов» и «геометров». Арифметики, алгебраисты и вообще аналитики, у которых открытие производится в самой абстрактной форме прорывных количественных символов и их взаимоотношений, не могут воображать, так как «геометр».

Отечественная теория способностей создавалась совместным трудом виднейших психологов, из которых в первую очередь надо назвать Б.М. Теплова, а так же Л.С. Выготского, А.Н. Леонтьева, С.Л. Рубинштейна и Б.Г. Ананьева. Помимо общетеоретических исследований проблемы математических способностей, В.А. Крутецкий своей монографией «Психология математических способностей школьников» положил начало экспериментальному анализу структуры математических способностей. Под способностями к изучению математики он понимает индивидуально-психологические особенности (прежде всего особенности умственной деятельности), отвечающие требованиям учебной математической деятельности и обуславливающие при прочих равных условиях успешность творческого овладения математикой как учебным предметом, в частности относительно быстрое, легкое и глубокое овладение знаниями, умениями, навыками в области математики.

Д.Н. Богоявленский и Н.А. Менчинская, говоря об индивидуальных различиях обучаемости детей, вводят понятие психологических свойств, определяющих при прочих равных условиях успех в учении.

Математические способности - сложное структурное психическое образование, своеобразный синтез свойств, интегральное качество ума, охватывающее разнообразные его стороны и развивающееся в процессе математической деятельности. Указанная совокупность представляет собой единое качественно-своеобразное целое, - только в целях анализа мы выделяем отдельные компоненты, не рассматривая их как изолированные свойства. Эти компоненты тесно связаны, влияют друг на друга и образуют в своей совокупности единую систему, проявление которой называют «синдромом математической одаренности».

Большой вклад в разработку данной проблемы внес В.А. Крутецкий . Собранный им экспериментальный материал позволяет говорить о компонентах, занимающих существенное место в структуре такого интегрального качества ума, как математическая одаренность. В.А. Крутецкий представил схему структуры математических способностей в школьном возрасте:

• · Получение математической информации (способность к формализованному восприятию математического материала, охватыванию формальной структуры задачи).
• · Переработка математической информации
• А)Способность к логическому мышлению в сфере количественных и пространственных отношений, числовой и знаковой символики. Способность мыслить математическими символами.
• Б)Способность к быстрому и широкому обобщению математических объектов, отношений и действий.
• В)способность к свертыванию процесса математического рассуждения и системы соответствующих действий. Способность мыслить свернутыми структурами.
• Г)Гибкость мыслительных процессов в математической деятельности.
• Д)Стремление к ясности, простоте, экономности и рациональности решений.
• Е)Способность к быстрой и свободной перестройке направленности мыслительного процесса, переключение с прямого на обратный ход мысли (обратимость мыслительного процесса при математическом рассуждении).
• · Хранение математической информации.

Математическая память (обобщенная память на математические отношения, типовые характеристики, схемы рассуждений, доказательств, методы решения задач и принципы подхода к ним).

· Общий синтетический компонент. Математическая направленность ума.

Не входят в структуру математической одаренности те компоненты, наличие которых в этой структуре не обязательно. Они являются нейтральными по отношению к математической одаренности. Однако их наличие или отсутствие в структуре (точнее степень развития) определяют типы математического склада ума. Быстрота мыслительных процессов как временная характеристика, индивидуальный темп работы не имеют решающего значения. Математик может размышлять неторопливо, даже медленно, но очень обстоятельно и глубоко. Также к нейтральным компонентам можно отнести вычислительные способности (способности к быстрым и точным вычислениям, часто в уме). Известно, что есть люди, способные воспроизводить в уме сложные математические вычисления (почти мгновенное возведение в квадрат и куб трехзначных чисел), но не умеющие решать сколько-нибудь сложные задачи. Известно также, что существовали и существуют феноменальные «счетчики» не давшие математике ничего, а выдающийся математик А. Пуанкре писал о себе, что без ошибки не может сделать даже сложение.

Память на цифры, формулы и числа является нейтральной по отношению к математической одаренности. Как указывал академик А.Н. Коломогоров, многие выдающиеся математики не обладали сколько-нибудь выдающейся памятью такого рода.

Способность к пространственным представлениям, способность наглядно представлять абстрактные математические отношения и зависимости также составляют нейтральный компонент.

Важно отметить, что схема структуры математических способностей имеет в виду математические способности школьника. Нельзя сказать в какой мере ее можно считать общей схемой структуры математических способностей, в какой мере ее можно отнести к вполне сложившимся одаренным математикам.

Известно, что в любой области науки одаренность как качественное сочетание способностей всегда многообразна и в каждом отдельном случае своеобразна. Но при качественном многообразии одаренности всегда можно наметить какие-то основные типологические характеристики различия в структуре одаренности, выделить определенные типы, значительно отличающиеся один от другого, разными путями приходящие с одинаково высокими достижениями в соответствующей области.

Об аналитическом и геометрическом типах упоминается в работах А. Пуанкре, Ж. Адамара, Д. Мордухай-Болтовского, но с этими терминами у них связывается скорее логический, интуитивный пути творчества в математике.

Из отечественных исследователей вопросами индивидуальных различий учащихся при решении задач с точки зрения соотношения абстрактных и образных компонентов мышления много занималась Н.А. Менчинская. Она выделяла учащихся с относительным преобладанием: а) образного мышления над абстрактным в) гармоническим развитием обоих видов мышления.

Нельзя думать, что аналитический тип проявляется только в алгебре, а геометрический - в геометрии. Аналитический склад может проявляться в геометрии, а геометрический - в алгебре. В.А. Крутецкий дал развернутую характеристику каждого типа.

Аналитический тип. Мышление этого типа характеризуется преобладанием очень хорошо развитого словесно-логического компонента над слабым наглядно-образным. Они легко оперируют отвлеченными схемами. У них нет потребности в наглядных опорах, в использовании предметной или схематической наглядности при решении задач, даже таких, когда данные в задаче математические отношения и зависимости «наталкивают» на наглядные представления.

Представители этого типа не отличаются способностью наглядно-образного представления и в силу этого используют более трудный и сложный логико-аналитический путь решения там, где опора на образ дает гораздо более простое решение. Они очень успешно решают задачи, выраженные в абстрактной форме, задачи же, выраженные в конкретно-наглядной форме, стараются по возможности переводить в абстрактный план. Операции, связанные с анализом понятий, осуществляются ими легче, чем операции, связанные с анализатором геометрической схемы или чертежа.

• -Геометрический тип. Мышление представителей этого типа характеризуется очень хорошо развитым наглядно-образным компонентом. В связи с этим можно говорить о преобладании над хорошо развитым словесно-логическим компонентом. Эти учащиеся испытывают потребность в наглядной интерпретации выражения абстрактного материала и демонстрируют большую избирательность в этом отношении. Но если им не удается создать наглядные опоры, использовать предметную или схематическую наглядность при решении задач, то они с трудом оперируют отвлеченными схемами. Они упорно пытаются оперировать наглядными схемами, образами, представлениями даже там, где задача легко решается рассуждением, а использование наглядных опор излишне или затруднительно.
• -Гармонический тип. Для этого типа характерно равновесие хорошо развитых словесно-логического и наглядно-образного компонента при ведущей роли первого. Пространственные представления у представителей этого типа развиты хорошо. Они избирательны в наглядной интерпретации абстрактных отношений и зависимостей, но наглядные образы и схемы подчинены у них словесно-логическому анализу. Оперируя наглядными образами, эти учащиеся четко осознают, что содержание обобщения не исчерпывается частными случаями. Представители этого типа успешно осуществляют образно-геометрический подход к решению многих задач.

Установленные типы имеют общее значение. Их наличие подтверждается многими исследованиями.

В зарубежной психологии до настоящего времени широко распространены представления о возрастных особенностях математического развития школьника, исходящих из исследований Ж. Пиаже. Пиаже считал, что ребенок только к 12 годам становится способным к абстрактному мышлению . Анализируя стадии развития математических рассуждений подростка, Л. Шоанн пришел к выводу, что в наглядно-конкретном плане школьник мыслит до 12 - 13 лет, а мышление в плане формальной алгебры, связанное с овладением операциями, символами, складывается к 17 годам.

Исследование отечественных психологов дают иные результаты. П.П. Блонский писал об интенсивном развитии у подростка, обобщающего и абстрагирующего мышления, умения доказывать и разбираться в доказательствах . Исследования И.В. Дубровиной дают основание говорить о том, что применительно к возрасту младших школьников мы не можем утверждать о сколько-нибудь сформированной структуре собственно математических способностей, конечно, исключая случаи особой одаренности. Поэтому «понятие математические способности» условно в применении к младшим школьникам - детям 7 - 10 лет, при исследовании компонентов математических способностей в этом возрасте речь может идти лишь об элементарных формах таких компонентов. Но отдельные компоненты математических способностей формируются уже в начальных классах.

Опытное обучение, которое осуществлялось в ряде школ Института психологии (Д.Б. Эльконин, В.В. Давыдов) показывают, что при специальной методике обучения младшие школьники приобретают большую способность к отвлечению и рассуждению, чем принято думать. Однако, хотя возрастные особенности школьника в большей мере зависят от условий, в которых осуществляется обучение, считать, что они целиком создаются обучением, было бы неверно. Поэтому неправильна крайняя точка зрения на этот вопрос, когда считают, что не существует никакой закономерности естественного психического развития. Более эффективная система обучения может «стать» весь процесс, но до известных пределов, может несколько измениться последовательность развития, но не может придать линии развития совершенно иной характер. Здесь не может быть произвольности. Не может, например, способность к обобщению сложных математических отношений и методов сформироваться раньше, чем способность к обобщению простых математических отношений . Таким образом, возрастные особенности - это несколько условное понятие. Поэтому все исследования ориентированы на общую тенденцию, на общее направление развития основных компонентов структуры математических способностей под влиянием обучения.

В зарубежной психологии имеются работы, где сделана попытка выявить отдельные качественные особенности математического мышления мальчиков и девочек. В. Штерн говорит о своем несогласии с той точкой зрения, согласно которой различия в умственной области мужчин и женщин есть результат неодинакового воспитания. По его мнению, причины кроются в разных внутренних задатках. Поэтому женщины менее склонны к абстрактному мышлению и менее способны в этом отношении.

В своих исследованиях Ч. Спирмен и Э. Торндайк пришли к выводу, что «в отношении способностей большой разницы нет», но при этом отмечают большую склонность девочек к детализированию, запоминанию подробностей.

Соответствующие исследования в отечественной психологии были проведены под руководством И.В.Дубровиной и С.И.Шапиро. Они не обнаружили каких-либо качественных специфических особенностей в математическом мышлении мальчиков и девочек. Не указали на эти различия и опрошенные ими учителя.

Разумеется, фактически мальчики чаще обнаруживают математические способности. Победителями в математических олимпиадах чаще бывают мальчики, чем девочки. Но это фактическое различение надо отнести за счет разницы в традициях, в воспитании мальчиков и девочек, за счет распространенного взгляда на мужские и женские профессии. Это приводит к тому, что математика часто оказывается вне направленности интересов девочек.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Н.Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО

РЕФЕРАТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

Психолого-педагогические основы обучения математики

«Математические способности»

ВЫПОЛНИЛ: студентка

заочного отделения Дудрова Л.В.

ПРОВЕРИЛ: Гуменская О.М.

Саратов 2013

Введение

1. Математические способности

4. Возрастные особенности математических способностей0

Заключение

Библиография

Введение

Способности - совокупность психических качеств имеющих сложную структуру. К примеру, в структуре способностей математических есть: способность к математическому обобщению, способность к приостановлению процесса математических рассуждений и действий, гибкость при решении задач математики и т.д.

Структура способностей литературных характеризуется наличием высокоразвитых эстетических чувств, ярких образов памяти, чувства красоты языка, фантазии и потребности самовыражения.

Структура способностей в музыке, педагогике, медицине также имеет довольно специфический характер. Есть среди свойств личности, образующих структуру определенных способностей, занимающие ведущее положение, а есть и вспомогательное. Например, в структуре способностей педагога ведущими будут: тактичность, способность к избирательному наблюдению, любовь к воспитанникам, не исключающая требовательности, потребность учить, способность организовать учебный процесс и т. д. Вспомогательными: артистичность, способность лаконично и понятно выражать свои мысли и др.

Понятно то, что и ведущие, и вспомогательные элементы способностей педагога образуют единую составляющую успешного обучения и воспитания.

1. Математические способности

В исследование математических способностей внесли свой вклад и такие яркие представители определённых направлений в психологии, как А. Бинэ, Э. Торндайк и Г. Ревеш, и такие выдающиеся математики, как А. Пуанкаре и Ж. Адамар. Большое разнообразие направлений определяет и большое разнообразие в подходах к исследованию математических способностей. Разумеется, исследование математических способностей следует начинать с определения. Попытки такого рода делались неоднократно, но установившегося, удовлетворяющего всех определения математических способностей не имеется до сих пор. Единственное, в чём сходятся все исследователи, это, пожалуй, мнение о том, что следует различать обычные, «школьные» способности к усвоению математических знаний, к их репродуцированию и самостоятельному применению и творческие математические способности, связанные с самостоятельным созданием оригинального и имеющего общественную ценность продукта.

Ещё в 1918 году в работе А. Роджерс отмечались две стороны математических способностей, репродуктивная (связанная с функцией памяти) и продуктивная (связанная с функцией мышления). В. Бетц определяет мат. способности как способности ясного осознания внутренней связи математических отношений и способность точно мыслить математическими понятиями. Из работ отечественных авторов необходимо упомянуть оригинальную статью Д. Мордухай-Болтовского «Психология математического мышления», опубликованную в 1918 году. Автор, специалист математик, писал с идеалистической позиции, придавая, например, особо значение «бессознательному мыслительному процессу», утверждая, что «мышление математика глубоко внедряется в бессознательную сферу, то, всплывая на её поверхность, то погружаясь в глубину. Математик не осознает каждого шага своей мысли, как виртуоз движения смычка».

Большой интерес представляет попытка Мордухай-Болтовского выделить компоненты математических способностей. К таким компонентам он относит в частности: «сильную память», память на «предметы того типа, с которыми имеет дело математика», память скорее не на факты, а на идеи и мысли, «остроумие», под которым понимается способность «обнимать в одном суждении» понятия из двух малосвязанных областей мысли, находить в уже известном сходное с данным, отыскивать сходное в самых отделённых казалось бы, совершенно разнородных предметах.

Советская теория способностей создавалась совместным трудом виднейших отечественных психологов, из которых в первую очередь надо назвать Б.М. Теплова, а так же Л.С. Выготского, А.Н. Леонтьева, С.Л. Рубинштейна и Б.Г. Ананьева.

Помимо общетеоретических исследований проблемы математических способностей, В.А. Крутецкий своей монографией «Психология математических способностей школьников» положил начало экспериментальному анализу структуры математических способностей. Под способностями к изучению математики он понимает индивидуально- психологические особенности (прежде всего особенности умственной деятельности), отвечающие требованиям учебной математической деятельности и обуславливающие при прочих равных условиях успешность творческого овладения математикой как учебным предметом, в частности относительно быстрое, лёгкое и глубокое овладения знаниями, умениями, навыками в области математики. Д.Н. Богоявленский и Н.А. Менчинская, говоря об индивидуальных различиях в обучаемости детей, вводит понятие психологических свойств, определяющих при прочих равных условиях успех в учении. Они не употребляют термина «способности», но по существу соответствующее понятие близко к тому определению, которое дано выше.

Математические способности - сложное структурное психическое образование, своеобразный синтез свойств, интегральное качество ума, охватывающее разнообразные его стороны и развивающееся в процессе математической деятельности. Указанная совокупность представляет собой единое качественно-своеобразное целое, - только в целях анализа мы выделяем отдельные компоненты, отнюдь не рассматривая их как изолированные свойства. Эти компоненты тесно связаны, влияют друг на друга и образуют в своей совокупности единую систему, проявления которой мы условно называем «синдром математической одаренности».

2. Структура математических способностей

Большой вклад в разработку данной проблемы внёс В.А. Крутецкий. Собранный им экспериментальный материал позволяет говорит о компонентах, занимающих существенное место в структуре такого интегрального качества ума, как математическая одарённость.

Общая схема структуры математических способностей в школьном возрасте

1. Получение математической информации

А) Способность к формализованному восприятию математического материала, охватыванию формальной структуры задачи.

2. Переработка математической информации.

А) Способность к логическому мышлению в сфере количественных и пространственных отношений, числовой и знаковой символики. Способность мыслить математическими символами.

Б) Способность к быстрому и широкому обобщению математических объектов, отношений и действий.

В) Способность к свёртыванию процесса математического рассуждения и системы соответствующих действий. Способность мыслить свернутыми структурами.

Г) Гибкость мыслительных процессов в математической деятельности.

Д) Стремление к ясности, простоте, экономности и рациональности решений.

Е) Способность к быстрой и свободной перестройке направленности мыслительного процесса, переключение с прямого на обратный ход мысли (обратимость мыслительного процесса при математическом рассуждении.

3. Хранение математической информации.

А) Математическая память (обобщенная память на математические отношения, типовые характеристики, схемы рассуждений и доказательств, методы решения задач и принципы подхода к ним)

4. Общий синтетический компонент.

А) Математическая направленность ума.

Не входят в структуру математической одарённости те компоненты, наличие которых в этой структуре не обязательно (хотя и полезно). В этом смысле они являются нейтральными по отношению к математической одаренности. Однако их наличие или отсутствие в структуре (точнее степень развития) определяют типы математического склада ума.

1. Быстрота мыслительных процессов как временная характеристика. Индивидуальный темп работы не имеет решающего значения. Математик может размышлять неторопливо, даже медленно, но очень обстоятельно и глубоко.

2. Вычислительные способности (способности к быстрым и точным вычислениям, часто в уме). Известно, что есть люди, способные производить в уме сложные математические вычисления (почти мгновенное возведение в квадрат и куб трёхзначных чисел), но не умеющие решать сколько-нибудь сложные задачи. Известно также, что существовали и существуют феноменальные «счётчики» не давшие математике ничего, а выдающийся математик А.Пуанкаре писал о себе, что без ошибки не может сделать даже сложение.

3. Память на цифры, формулы, числа. Как указывал академик А.Н. Колмогоров, многие выдающиеся математики не обладали сколько-нибудь выдающейся памятью такого рода.

4. Способность к пространственным представлениям.

5. Способность наглядно представлять абстрактные математические отношения и зависимости

Следует подчеркнуть, что схема структуры математических способностей имеет в виду математические способности школьника. Нельзя сказать в какой мере её можно считать общей схемой структуры математических способностей, в какой мере её можно отнести к вполне сложившимся одарённым математикам.

3. Типы математических складов ума

Хорошо известно, что в любой области науки одарённость как качественное сочетание способностей всегда многообразна и в каждом отдельном случае своеобразна. Но при качественном многообразии одарённости всегда можно наметить какие-то основные типологические различия в структуре одарённости, выделить определённые типы, значительно отличающиеся один от другого, разными путями приходящие к одинаково высоким достижениям в соответствующей области. Об аналитическом и геометрическом типах упоминается работах А. Пуанкаре, Ж. Адамара, Д. Мордухай-Болтовского, но с этими терминами у них связывается скорее логический, интуитивный пути творчества в математике.

Из отечественных исследователей вопросами индивидуальных различий учащихся при решении задач с точки зрения соотношения абстрактных и образных компонентов мышления много занималась Н.А. Менчинская. Она выделяла учащихся с относительным преобладанием: а) образного мышления над абстрактным; б)абстрактного над образным в)гармоническим развитием обоих видов мышления.

Нельзя думать, что аналитический тип проявляется только в алгебре, а геометрический - в геометрии. Аналитический склад может проявляться в геометрии, а геометрический - в алгебре. В.А. Крутецкий дал развернутую характеристику каждого типа.

Аналитический тип

Мышление представителей этого типа характеризуется явным преобладанием очень хорошо развитого словесно-логического компонента над слабым наглядно-образным. Они легко оперируют отвлечёнными схемами. У них нет потребности в наглядных опорах, в использование предметной или схематической наглядности при решении задач, даже таких, когда данные в задаче математические отношения и зависимости «наталкивают» на наглядные представления.

Представители этого типа не отличаются способностью наглядно-образного представления и в силу этого используют более трудный и сложный логико-аналитический путь решения там, где опора на образ дает гораздо более простое решение. Они очень успешно решают задачи, выраженные в абстрактной форме, задачи же, выраженные в конкретно-наглядной форме, стараются по возможности переводить в абстрактный план. Операции, связанные с анализом понятий, осуществляются ими легче, чем операции, связанные с анализом геометрической схемы или чертежа.

Геометрический тип

Мышление представителей этого типа характеризуется очень хорошо развитым наглядно-образным компонентом. В связи с этим условно можно говорить о преобладании над хорошо развитым словесно-логическим компонентом. Эти учащиеся испытывают потребность в наглядной интерпретации выражения абстрактного материала и демонстрируют большую избирательность в этом отношении. Но если им не удается создать наглядные опоры, использовать предметную или схематическую наглядность при решении задач, то они с трудом оперируют отвлечёнными схемами. Они упорно пытаются оперировать наглядными схемами, образами, представлениями даже там, где задача легко решается рассуждением, а использование наглядных опор излишне или затруднительно.

Гармонический тип

Для этого типа характерно относительное равновесие хорошо развитых словесно-логического и наглядно-образного компонентов при ведущей роли первого. Пространственные представления у представителей этого типа развиты хорошо. Они избирательны в наглядной интерпретации абстрактных отношений и зависимостей, но наглядные образы и схемы подчинены у них словесно-логическому анализу. Оперируя наглядными образами, эти учащиеся чётко осознают, что содержание обобщения не исчерпывается частными случаями. Успешно осуществляют они и образно- геометрический подход к решению многих задач.

Установленные типы, по-видимому, имеют общее значение. Наличие их подтверждается многими исследованиями.

4. Возрастные особенности математических способностей

математический способность ум

В зарубежной психологии до настоящего времени широко распространены представления о возрастных особенностях математического развития школьника, исходящих из ранних исследований Ж.Пиаже. Пиаже считал, что ребёнок только к 12 годам становится способным к абстрактному мышлению. Анализируя стадии развития математических рассуждений подростка, Л. Шоанн пришёл к выводу, что в плане наглядно-конкретном школьник мыслит до 12 - 13 лет, а мышление в плане формальной алгебре, связанной с овладением операциями, символами, складывается лишь к 17 годам.

Исследование отечественных психологов дают иные результаты. Ещё П.П. Блонский писал об интенсивном развитие у подростка (11 - 14 лет) обобщающего и абстрагирующего мышления, умения доказывать и разбираться в доказательствах. Возникает законный вопрос: в какой мере можно говорить о математических способностях по отношению к младшим школьникам? Исследования под руководством И.В. Дубровиной, даёт основание ответить на этот вопрос следующим образом. Конечно, исключая случаи особой одарённости, мы не можем говорить о сколько-либо сформированной структуре собственно математических способностей применительно к этому возрасту. Поэтому понятие «математические способности» условно в применение к младшим школьникам - детям 7 -10-лет, при исследовании компонентов математических способностей в этом возрасте речь обычно может идти лишь об элементарных формах таких компонентов. Но отдельные компоненты математических способностей формируются уже и в начальных классах.

Опытное обучение, которое осуществлялось в ряде школ сотрудниками Института психологии (Д.Б. Эльконин, В.В. Давыдов) показывает, что при специальной методике обучения младшие школьники приобретают большую способность к отвлечению и рассуждению, чем принято думать. Однако, хотя возрастные особенностями школьника в большей мере зависят от условий, в которых осуществляется обучение, что они целиком создаются обучением, было бы неверно. Поэтому неправильна крайняя точка зрения на этот вопрос, когда считают, что не существует никакой закономерности естественного психического развития. Более эффективная система обучения может «стать» весь процесс, но до известных пределов, может несколько измениться последовательность развития, но не может придать линии развития совершенно иной характер.

Таким образом, возрастные особенности, о которых говорится, - это несколько условное понятие. Поэтому все исследования ориентированные на общую тенденцию, на общее направление развития основных компонентов структуры математических способностей под влиянием обучения.

Заключение

Проблема математических способностей в психологии представляет обширное поле действия для исследователя. В силу противоречий между различными течениями в психологии, а также внутри самих течений, пока не может быть и речи о точном и строгом понимании содержания этого понятия.

Рассмотренные в данной работе книги подтверждают это заключение. Вместе с тем следует отметить неугасающий интерес к этой проблеме во всех течениях психологии, что подтверждает следующий вывод.

Практическая ценность исследований по этой теме очевидна: математическое образование играет ведущую роль в большинстве образовательных систем, а оно, в свою очередь, станет более эффективным после научного обоснования его основы - теории математических способностей.

Итак, как утверждал В.А. Крутецкий: "Задача всестороннего и гармонического развития личности человека делает совершенно необходимой глубокую научную разработку проблемы способности людей к тем или иным видам деятельности. Разработка этой проблемы представляет как теоретический, так и практический интерес".

Библиография

1. Габдреева Г.Ш. Основные аспекты проблемы тревожности в психологии // Тонус. 2000 №5

2. Гуревич К.М. Основы профориентации М., 72.

3. Дубровина И.В. Индивидуальные различия в способности к обобщению математического и нематематического материала в младшем школьном возрасте. // Вопросы психологии.,1966 №5

4. Изюмова И.С. Индивидуально-типологические особенности школьников с литературными и математическими способностями.// Психол. журн. 1993 №1. Т.14

5. Изюмова И.С. К проблеме природы способностей: задатки мнемических способностей у школьников математических и литературных классов. // Психол. журн.

6. Елесеев О.П. Практикум по психологии личности. Спб., 2001

7. Ковалев А.Г. Мясищев В.Н. Психологические особенности человека. Т.2 «Способности» ЛГУ.: 1960

8. Колесников В.Н. Эмоциональность, её структура и диагностика. Петррозаводск. 1997.

9. Кочубей Б.И. Новиков Е.А. Эмоциональная устойчивость школьников. М. 1988

10. Крутецкий В.А. Психология математических способностей. М. 1968

11. Левитов В.Г. психическое состояние беспокойства, тревоги.//Вопросы психологии 1963. №1

12. Лейтис Н.С. Возрастная одаренность и индивидуальные различия. М. 1997

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

Компоненты математических способностей, степень их проявления в младшем школьном возрасте, природные предпосылки и условия формирования. Основные формы и методика проведения внеклассной работы: кружковые занятия, математические вечера, олимпиады, игры.

дипломная работа , добавлен 06.11.2010


Специфика развития математических способностей. Формирование математических способностей детей дошкольного возраста. Логическое мышление. Роль дидактических игр. Методика обучения счету и основам математики дошкольников через игровую деятельность.

реферат , добавлен 04.03.2008


Психолого-педагогическая характеристика детей 5-6 лет, специфика развития их математических способностей. Требования к подготовленности воспитателя и роль дидактической игры. Вовлечение родителей в деятельность по развитию математических способностей.

реферат , добавлен 22.04.2010


Способности и их связь с умениями и навыками. Общая структура математических способностей по В.А. Крутецкому. Анализ задачного материала темы "Теория делимости". Особенности формирования способности к формализованному восприятию математического материала.

дипломная работа , добавлен 26.08.2011


Понятия творчества и творческих способностей. Виды математических игр. Игры Б. Финкельштейна с блоками Дьенеша как средство развития творческих способностей. Результаты опытно-практической работы по использованию игр с математическим содержанием.

курсовая работа , добавлен 11.08.2014


Сущность понятия "способности". Классификация составляющих математических возможностей учащихся, обеспечивающих полноценную деятельность ребенка. Логико-дидактический анализ темы "Обыкновенные дроби" на предмет развития математических способностей.

курсовая работа , добавлен 10.04.2014


Особенность развития математических способностей младших школьников как психолого-педагогическая проблема. Анализ применения оригами в современной учебной литературе для учащихся. Вырабатывание общематематических умений у детей на уроках технологии.

дипломная работа , добавлен 25.09.2017


Особенности развития математических способностей, преимущества использования дидактических игр в процессе занятий. Методика обучения детей старшего дошкольного возраста основам математики посредством дидактических игр и задач, оценка их эффективности.

курсовая работа , добавлен 13.01.2012


Сущность понятий "творчество", "творческие способности". Развитие способностей ребенка в младшем школьном возрасте. Диагностика творческих способностей. Развитие креативных способностей учащихся. Интеллектуальная одаренность и творческие способности.

курсовая работа , добавлен 07.04.2014


Основы методики изучения математических понятий. Математические понятия, их содержание и объём, классификация понятий. Психолого-педагогические особенности обучения математике в 5-6 классах. Психологические аспекты формирования понятий.

Родители, которые хотят обучить ребенка математике сталкиваются с вопросом — чему именно нужно научить ребенка. Какие способности можно и нужно развивать в дошкольном возрасте, чтобы обеспечить успешное усвоение школьной программы.

Какие способности относятся к математическим у детей до 7-ми лет

Не стоит думать, что математические способности подразумевают под собой только умение быстро и точно считать. Это заблуждение. Математические способности включают в себя целый комплекс умений, направленных и на творческий подход, и логику, и счет.

Быстрота подсчета, способность запоминать большой массив цифр и данных не являются подлинными математическими способностями, так как даже медленный и обстоятельный ребенок, который вдумчиво занимается может успешно постигать математику.

К математическим способностям относится:

1. Способность обобщения математического материала.
2. Умение видеть общее у разных предметов.
3. Возможность найти главное в большом количестве различной информации и исключить не нужное.
4. Пользоваться числами и знаками.
5. Логическое мышление.
6. Способность ребенка мыслить абстрактными структурами. Умение отвлечься от решаемой задачи и увидеть полученную картину в целом.
7. Мыслить как прямо, так и в обратной последовательности.
8. Умение самостоятельно мыслить, не используя шаблонов.
9. Развитая математическая память. Способность использовать полученные знания в различных ситуациях.
10. Пространственное мышление – уверенное использование понятий «верх», «низ», «право» и «лево».

Каким образом формируются математические способности

Все способности, в том числе и математические, не являются предопределенным навыком. Они формируются и развиваются через обучение и закрепляются практикой. Поэтому важно не только развить ту или иную способность, но и совершенствовать ее путем практических упражнений, доводя до автоматизма.

Любая способность проходит несколько этапов в своем развитии:

1. Познание. Ребенок знакомится с предметом и узнает необходимый материал;
2. Применение. Применяет новые знания в самостоятельной игре;
3. Закрепление. Возвращается к занятиям и повторяет ранее изученное;
4. Применение. Использование закрепленного материала при самостоятельной игре;
5. Расширение. Происходит расширение знания о предмете или способности;
6. Применение. Ребенок дополняет самостоятельную игру новым знанием;
7. Адаптация. Знание переносится из игровой ситуации в жизнь.

Любое новое знание должно пройти несколько раз через этап применения. Давайте ребенку возможность использовать полученные данные в самостоятельной игре. Детям нужно некоторое время, чтобы осмыслить и закрепить каждое незначительное изменение в знаниях.

В случае, если ребенок не сможет через самостоятельную игру усвоить полученный навык или знание, высока вероятность того, что оно не будет закреплено. Поэтому после каждого занятия отпускайте малыша поиграть или отвлекитесь, поиграйте с ним. Во время игры покажите, как использовать новые знания.

Как развить математические способности у ребенка

Начинать математическое развитие нужно в виде игры и использовать вещи, которые заинтересуют малыша. Например, игрушки и бытовые предметы, с которыми он сталкивается каждый день.

С того момента, когда ребенок проявит интерес к тому или иному предмету родитель начинает показывать ребенку, что предмет можно не только рассматривать и трогать, но и совершать с ним разные действия. Акцентируя внимание на некоторых признаках предмета (цвет, форма), в ненавязчивой манере можно показать разницу в количестве предметов, ввести первые понятия о множественном и пространственном положении.

После того, как ребенок научится разделять предметы по группам, можно показывать, что их можно считать и сортировать. Обратить внимание на геометрические особенности.

Развитие математических способностей должно идти одновременно с основами операций с числами.

Любое новое знание должно быть преподнесено при явном интересе ребенка к обучению. При отсутствии заинтересованности в предмете и его изучении, обучение ребенка проводить не стоит. Важно соблюдать баланс в обучении ребенка, чтобы развивать любовь к математике. Практически все проблемы, связанные с изучением основ этой дисциплины, имеют свое начало в первоначальном отсутствии желания познать.

Что делать, если ребенку неинтересно

Если ребенок при каждой попытке обучить его основам математики уходит и скучает, то нужно:

• Поменять форму преподнесения материала. Вероятнее всего ваши объяснения слишком сложные для понимания ребенком и не содержат игровых элементов. Дети дошкольного возраста не могут воспринимать информацию в классическом виде урока, им нужно показывать и рассказывать новый материал в ходе игры или развлечения. Сухой текст не воспринимается ребенком. Примените в обучении или попробуйте задействовать в обучении непосредственно ребенка;
• Проявите интерес к предмету без участия ребенка. Дети младшего возраста интересуются всем, что интересно их родителям. Они любят подражать и копировать взрослых. Если ребенок не проявляет интерес к какому-либо занятию, то попробуйте на глазах у ребенка начать играть с выбранными предметами. Вслух рассказывайте о том, что вы делаете. Показывайте собственную заинтересованность процессом игры. Ребенок увидит ваш интерес и присоединится;
• В случае, если ребенок все равно быстро теряет интерес к предмету, нужно проверить, не является ли то знание и умение, которое вы хотите ему привить, слишком сложным или легким;
• Помните о длительности занятий для разного возраста. Если ребенок до 4-х лет потерял интерес к предмету через 5 минут, то это нормально. Так как в этом возрасте ему сложно долго концентрироваться на одном предмете.
• Попробуйте вводить в занятие по одному элементу за раз. Для детей 5-7 лет длительность занятий не должна превышать 30 минут.
• Не стоит расстраиваться, если ребенок не захочет заниматься в конкретный день. Нужно попробовать привлечь его к обучению спустя некоторое время.

Главное, помнить:

1. Материал должен быть адаптирован к возрасту ребенка;
2. Родитель должен проявлять интерес к материалу и результатам ребенка;
3. Ребенок должен быть готов к занятию.

Как развивать математическое мышление

Порядок научения ребенка математическому мышлению представляет собой связанные между собою занятия, которые преподносятся в порядке усложнения материала.

1. Начинать обучение нужно с понятий о пространственном расположении предметов

Ребенок должен понять, где находится право – лево. Что такое «выше», «ниже», «перед» и «за». Наличие этого навыка позволяет воспринимать все последующие занятия проще. Ориентирование в пространстве — основополагающее знание не только для развития математических способностей, но и для обучения ребенка чтению и письму.

Можно предложить ребенку следующую игру. Возьмите несколько его любимых игрушек и положите перед ним на разном расстоянии. Попросите его показать, какая игрушка находится ближе, какая дальше, какая левее и т.д. При появлении затруднений при выборе, подскажите правильный ответ. Используйте в этой игре различные варианты слов, которые определяют расположение предметов относительно малыша.

Употребляйте такой подход к изучению и повторению не только в процессе занятий, но и в обыденной жизни. Например, предложите ребенку определить пространственное расположение предметов на детской площадке. Чаще в обычной жизни обращайтесь с просьбой подать что-либо, ориентируя малыша в пространстве.

Параллельно с пространственным мышлением обучают обобщению и классификации предметов по их внешним признакам и функциональной принадлежности.

2. Изучите понятие множества предметов

Ребенок должен различать понятия много — мало, один — много, больше — меньше и поровну. Предложите игрушки разного вида в разном количестве. Предложите сосчитать их и сказать много их или мало, каких игрушек меньше и наоборот, также показывайте равенство игрушек.

Хорошая игра на закрепление понятия множества — «Что в коробочке». Ребенку предлагается две коробки или ящичка, в которых находится разное количество предметов. Путем перемещения предметов между коробками ребенку предлагается сделать количество предметов больше или меньше, уровнять. В возрасте до 3-х лет количество предметов не должно быть большим, чтобы ребенок мог наглядно оценить разницу в предметах без подсчета.

3. Важно в раннем детстве обучить ребенка простым геометрическим фигурам

Научите ребенка видеть их в окружающем мире. Хорошо для развития знания геометрических фигур использовать аппликации из математических форм. Покажите ребенку рисунок предмета с четкими контурами (дом, машина). Предложите сделать из заготовленных треугольников, квадратов и кругов образ предмета.

Покажите и объясните, что такое угол у фигур, предложите ребенку догадаться, почему «треугольник» носит такое имя. Предложите ребенку для ознакомления фигуры с большим количеством углов.

Закрепление геометрических знаний проведите через рисование изученного материала, складывания разных фигур из других предметов (палочек, камушков и т.д.). Можно использовать пластилин и другие материалы, позволяющие создавать различные формы.

Попросите нарисовать ряд фигур разного типа, посчитайте их вместе с ребенком. Спросите, каких фигур много, а каких мало.

На прогулке с ребенком обратите внимание на форму домов, лавочек, машин и т.д. Покажите, как сочетание различных фигур между собой может создавать новые и знакомые предметы.

4. Умение ориентироваться в пространстве и классифицировать предметы позволяет научить измерению размера предмета

Раннее обучение измерения длины линейкой и при помощи сантиметров не рекомендуется, так как это будет сложный для восприятия материал. Попробуйте измерять предметы с ребенком при помощи палочек, ленточек и других подручных материалов. В этом обучении вложено не само измерение, а принцип его проведения.

Большинство педагогов советуют обучать ребенка измерению при помощи счетных палочек. Они обосновывают это удобством для ребенка и приучению его пользоваться специальным материалом. Эти палочки пригодятся при изучении единиц счета. Также их можно использовать как наглядный материал при работе с книгами (отложить палочку по количеству героев), изучении геометрических фигур (ребенок может выложить палочками нужную фигуру) и т.д.

5. Количественные измерений

После изучения базовых математических понятий можно переходить к количественным измерениям и изучению чисел. Изучение чисел и их письменного обозначения происходит с раннего возраста по определенной системе.

6. Сложение и вычитание

Только после освоения количественных измерений и чисел стоит вводить сложение и вычитание. Сложение и вычитание вводится в возрасте 5-6 лет и представляет собой простейшие операции на одно действие с малыми числами.

7. Деление

Деление в дошкольном возрасте вводится только на уровне долей, когда ребенку предлагается разделить предмет на равные доли. Количество таких частей не должно превышать четырех.

Примеры занятий с ребенком для развития математических способностей

Для решения этой задачи не требуется каких-либо изысканных способов, нужно просто в вашу обычную жизнь внести некоторые дополнения.

• При прогулке на улице предложите ребенку посчитать какие-либо предметы или объекты (плитку, машины, деревья). Укажите на множество предметов, попросите найти обобщающий признак;
• Предлагайте ребенку решать задачи по поиску правильного ответа, ориентируя его. Например, у Маши 3 яблока, а у Кати 5, у Лены на одно яблоко больше, чем у Маши и на одно меньше, чем у Кати. Задачу можно и упростить, спросив, какое число находится между 1 и 3;
• Наглядно поясните ребенку, что такое сложение и вычитание. Сделайте это на яблоках, игрушках или любых других предметах. Дайте ребенку пощупать предметы и через добавление или вычитание предмета покажите эти простые операции;
• Спрашивайте ребенка о том, в чем отличие предметов;
• Покажите, что такое весы и как они действуют. Поясните, что вес можно не только почувствовать, взяв предмет в руки, но можно еще и измерить в цифрах;
• Научите пользоваться часами со стрелками;
• Уделите особое внимание пространственному расположению предметов;
• Формы можно изучать не только на карточках, но и искать их в предметах вокруг;
• Покажите вашему ребенку, что математика есть во всем, что окружает его, стоит только присмотреться.

Какие дополнительные материалы помогут обучить ребенка математике

• Карточки и картинки с разным количеством предметов, с цифрами и математическими знаками, геометрическими фигурами;
• Магнитная или меловая доска;
• Часы со стрелкой и весы;
• Палочки для счета;
• Конструкторы и головоломки;
• Шашки и шахматы;
• Лото и домино;
• Книги, в которых есть счет, и позволяющие проводить математические операции;
• Методические пособия на развитие логики и других способностей по возрасту ребенка.

Советы родителям, которые хотят обучить ребенка основам математики

1. Поощряйте ребенка в его поиске ответов. Помогайте ему их находить, рассуждая. Не ругайте за ошибки и не смейтесь над неправильными ответами. Каждая попытка ребенка сделать вывод или решить задачу тренирует его способности и позволяет закреплять знания;

2. Используйте время совместных игр для развития необходимых навыков. Акцентируйте внимание на том, что было изучено ранее, показывайте, как на практике можно использовать новый и уже закрепленный материал. Создавайте ситуации, в которых ребенку нужно будет воспользоваться знаниями, чтобы достичь определенного результата;

3. Не перегружайте ребенка большим объемом новой информации. Дайте ему время осмыслить полученные знания через свободную игру;

4. Сочетайте развитие математических способностей с духовным и физическим развитием. Внедрите счет в занятия по физкультуре и логику в чтение, и ролевые игры. Разностороннее развитие ребенка - путь к полноценному развитию малыша. Физически и духовно развитый ребенок постигает математику намного легче;

5. При обучении ребенка старайтесь задействовать все каналы поглощения информации. Кроме устного рассказа, показывайте это на различных предметах, давайте возможность пощупать и оценить вес и фактуру. Прибегайте к разнообразным формам преподнесения информации. Показывайте, как можно использовать полученные знания в жизни;

6. Любой материал должен быть в виде игры, которая заинтересует ребенка. Хорошо способствует запоминанию азарт и вовлеченность в процесс. При отсутствии интереса ребенка к материалу остановитесь. Подумайте над тем, что было сделано не так и исправьте. Каждый ребенок индивидуален. Найдите способ, который подходит для вашего малыша и используйте его;

7. Важным для успешного освоения математических основ является умение концентрироваться на задаче и запоминать условия. Задавайте вопрос о том, что понял малыш из заданной задачи после каждого условия. Проводите работу по улучшению концентрации;

8. Прежде чем предлагать ребенку решать самостоятельно покажите пример того, как нужно рассуждать и решать. Даже, если ребенок уже не однократно проводит некую операцию по вычислению, напомните ему порядок действий. Лучше показать правильный ход действий, чем позволять ребенку закреплять неправильный подход;

9. Не заставляйте ребенка заниматься, если он не хочет. Если малыш хочет играть, то дайте ему эту возможность. Предложите позаниматься спустя некоторое время;

10. Старайтесь разнообразить знания в одном занятии. Лучшим вариантом будет, если в течение дня вы уделите немного внимания самым разным областям математических знаний, чем, если будете заучивать однотипный материал, доводя его до автоматизма;

11. Задача родителя в дошкольном возрасте не научить считать и проводить вычисления, а в развитии способностей. Если вы не научите ребенка складывать и отнимать до школы – не страшно. Если ребенок обладает математическим мышлением и умеет делать выводы, то он сможет постигнуть любые сложные операции быстро и в школе.

Какие книги помогают развивать математические способности

Решение вопроса о научении математике ребенка до 7-ми лет при помощи книг начинается еще с раннего возраста. Так, например, сказка «Теремок». В ней появление различных персонажей происходит по мере увеличения в размере. На этом примере можно научить ребенка понятиям большой — маленький. Попробуйте поиграть в эту сказку в бумажном театре. Предложите ребенку расставить фигуры героев сказки в правильном порядке и рассказать историю. Сказка «Репка» также обучает ребенка понятиям больше и меньше, но ее сюжет развивается от обратного (от большого к меньшему).

Полезным с математической точки зрения будет изучение сказки «Три медведя» через понятия большой, средний и маленький, ребенок с легкостью осваивает счет до трех.

При подборе книг для чтения ребенку обращайте внимание на следующее:

• Наличие счета в книге и возможности проведения сравнения героев по некоторым признакам;
• Изображения в книге должны быть крупные и интересные. По ним можно показать ребенку, какие геометрические фигуры используются для создания разных предметов (дом – треугольник и квадрат, голова героя – круг и т.д.);
• Любой сюжет должен развиваться линейно и содержать определенные выводы в конце. Избегайте книг со сложным сюжетом, который развивается не линейно. Приучайте ребенка к тому, что любое действие имеет свои последствия и каким образом нужно делать выводы. Такой подход поможет легче понять принципы логического мышления;
• Книги должны быть подобраны по возрасту.

В продаже есть большое количество различных изданий, позволяющих на примерах героев ознакомиться с большинством математических операций и терминами. Главное, обсуждать с ребенком прочитанный материал и задавать наводящие вопросы, которые будут стимулировать развитие математических способностей.

Приобретайте методические книги для развития математических способностей у ребенка по его возрасту. Сейчас есть большое количество различных материалов, которые содержат в себе задания на развитие математических способностей ребенка. Привлекайте такие издания в игру. Напоминайте ребенку о тех заданиях, которые он выполнял ранее по такому изданию для решения новых задач.

Развить у ребенка математические способности несложная задача. Ребенок до 7-ми лет сам ищет новые знания и рад, когда ему их преподносят в игровой форме. Найдите вариант занятий, который подходит вашему малышу и постигайте математические основы с удовольствием.

Калькуляторы могут быть удивительно полезными, но они не всегда под рукой. К тому же не всем удобно доставать калькуляторы или телефоны, чтобы подсчитать, сколько нужно заплатить в ресторане, или вычислить размер чаевых. Вот десять подсказок, которые могут помочь вам произвести все эти подсчеты в уме. На самом деле это совсем не сложно, особенно если запомнить несколько простых правил.

Прибавляйте и вычитайте слева направо

Помните, как в школе нас учили прибавлять и вычитать в столбик справа налево? Это сложение и вычитание удобно, когда под рукой карандаш и листок бумаги, но в уме эти математические действия легче выполнить, считая слева направо. В числе слева расположена цифра, определяющая большие ценности, например сотни и десятки, а справа меньшие, то есть единицы. Слева направо считать интуитивнее. Таким образом, прибавляя 58 и 26, начните с первых цифр, сначала 50 + 20 = 70, потом 8 + 6 = 14, затем сложите оба результата - и получите 84. Легко и просто.

Облегчите себе задачу

Если вы столкнулись со сложным примером или задачей, попытайтесь найти способ упростить ее, например, добавить или отнять определенное число, чтобы сделать общее вычисление проще. Если, например, вам нужно посчитать, сколько будет 593 + 680, сначала прибавьте 7 к 593, чтобы получить более удобное число 600. Вычислите, сколько будет 600 + 680, а затем от полученного результата 1280 отнимите те же 7, чтобы получить правильный ответ - 1273.

Подобным образом можно поступать и с умножением. Чтобы умножить 89 x 6, вычислите, сколько будет 90 x 6, а затем отнимите оставшиеся 1 х 6. Таким образом, 540 - 6 = 534.

Запомните стандартные блоки

Запоминание таблиц умножения является важной и нужной частью математики, которая отлично помогает решать примеры в уме.

Запоминая основные «стандартные блоки» математики, такие как таблица умножения, квадратные корни, процентные соотношения десятичных и обыкновенных дробей, мы можем немедленно получить ответы на простые задачи, спрятанные в более трудных.

Помните полезные уловки

Чтобы быстрее справиться с умножением, важно помнить несколько простых уловок. Одно из самых очевидных правил - умножение на 10, то есть просто добавление ноля к умножаемому числу или перенос запятой на один десятичный показатель. При умножении на 5, ответ будет всегда заканчиваться цифрой 0 или 5.

Кроме того, умножая число на 12, сначала умножьте его на 10, а потом на 2, затем прибавьте результаты. Например, вычисляя 12 x 4, сначала умножьте 4 x 10 = 40, а затем 4 x 2 = 8, и прибавьте 40 + 8 = 48. Умножая на 15, просто умножьте число на 10, и затем прибавьте еще половину полученного, например, 4 x 15 = 4 x 10 = 40, плюс еще половина (20), получается 60.

Есть также хитрая уловка для умножения на 16. Во-первых, умножьте рассматриваемое число на 10, а затем умножьте половину числа на 10. После прибавьте оба результата к числу, чтобы получить окончательный ответ. Таким образом, чтобы вычислить 16 x 24, сначала вычислите 10 x 24 = 240, затем половину 24, то есть 12, умножьте на 10 и получите 120. И последний шаг: 240 + 120 + 24 = 384.

Квадраты и их корни очень полезны

Почти как таблица умножения. И помочь они могут с умножением более крупных чисел. Квадрат получается при умножении числа на само себя. Вот как работает умножение с использованием квадратов.

Давайте предположим на мгновение, что мы не знаем ответ на 10 x 4. Сначала выясняем среднее число между этими двумя числами, оно равно 7 (т. е. 10 - 3 = 7, и 4 + 3=7, при этом различие между средним числом равно 3 - это важно).

Затем определяем квадрат 7, который равен 49. У нас теперь есть число, близкое к финальному ответу, но оно не достаточно близко. Чтобы получить правильный ответ, возвращаемся к различию между средним числом (в этом случае 3), его квадрат дает нам 9. Последний шаг включает в себя простое вычитание, 49 - 9 = 40, теперь у вас есть правильный ответ.

Это похоже на окольный и чересчур сложный способ вычислить, сколько же будет 10 x 4, но та же самая техника прекрасно работает и для больших чисел. Возьмем, например, 15 x 11. Сначала мы должны найти среднее число между этими двумя (15 - 2 = 13, 11 + 2 = 13). Квадрат 13 равен 169. Квадрат различия среднего числа 2 равен 4. Получаем 169 - 4 = 165, вот и правильный ответ.

Иногда достаточно и приблизительного ответа

Если вы пытаетесь решить сложные задачи в уме, неудивительно, что на это уходит немало времени и усилий. Если вам не нужен абсолютно точный ответ, возможно, достаточно будет подсчитать приблизительное число.

То же самое касается и задач, в условиях которых вам не известны все точные данные. Например, во время Манхэттенского проекта физик Энрико Ферми хотел примерно подсчитать силу атомного взрыва, прежде чем ученые получат точные данные. С этой целью он набросал бумажных обрывков на пол и следил за ними с безопасного расстояния, в тот момент, когда до бумажек дошла взрывная волна. Измерив расстояние, на которое сдвинулись обрывки, он предположил, что сила взрыва составила приблизительно 10 килотонн в тротиловом эквиваленте. Эта оценка оказалась довольно точна для предположения навскидку.

К счастью, нам не приходится регулярно оценивать приблизительную силу атомных взрывов, однако приблизительные подсчеты не повредят, если, например, вам нужно предположить, сколько в городе настройщиков фортепиано. Для этого проще всего оперировать числами, которые просто делить и умножать. Таким образом, сначала вы оцениваете население своего города (например, сто тысяч человек), затем оцениваете предположительное число фортепьяно (скажем, десять тысяч), ну и затем количество настройщиков фортепьяно (например, 100). Вы не получите точный ответ, но сумеете быстро предположить приблизительное количество.

Перестраивайте примеры

Основные правила математики помогают перестроить сложные примеры в более простые. Например, вычисление в уме примера 5 x (14 + 43) кажется грандиозной и даже непосильной задачей, но пример можно «разломить» на три довольно несложных вычисления. Например, эта непосильная задача может быть перестроена следующим образом: (5 x 14) + (5 x 40) + (5 x 3) = 285. Не так уж и сложно, правда?

Упрощайте задачи

Если задача кажется сложной, упростите ее. Всегда проще справиться с несколькими простыми заданиями, чем с одним сложным. Решение многих сложных примеров в уме заключается в умении правильно разделить их на более простые примеры, решение которых не составляет труда.

Например, умножать на 8 проще всего, удваивая число три раза. Таким образом, вместо того, чтобы пытаться решить, сколько будет 12 x 8 традиционным способом, просто удвойте 12 три раза: 12 х 2 = 24, 24 х 2 = 48, 48 х 2 = 96.

Или умножая на 5, сначала умножайте на 10, так как это легко, затем разделите результат на 2, так как это также довольно легко. Например, для решения 5 x 18, вычислите 10 x 18 и разделите на 2, где 180: 2 = 90.

Пользуйтесь возведением в степень

Вычисляя большие суммы в уме, помните, что вы можете преобразовать их в более мелкие числа, умноженные на 10 в нужной степени. Например, сколько получится, если 44 миллиарда разделить на 400 тысяч? Простой способ решить эту задачу состоит в том, чтобы преобразовать 44 миллиарда в следующее число - 44 х 10 9 , а из 400 тысяч сделать 4 х 10 5 . Теперь мы можем преобразовать задачу следующим образом: 44: 4 и 10 9: 10 5 . Согласно математическим правилам, все это выглядит так: 44: 4 х 10(9-5), таким образом, мы получаем 11 x 10 4 = 110,000.

Самый простой способ вычислить необходимые чаевые

Математика необходима даже во время ужина в ресторане, точнее после него. В зависимости от заведения, размер чаевых может составлять от 10% до 20% от стоимости счета. Например, в США принято оставлять на чай официантам 15%. И там, как и во многих европейских странах, чаевые обязательны.

Если вычислить 10% от общей суммы сравнительно легко (просто разделите сумму на 10), то с 15 и с 20% дело, кажется, обстоит сложнее. Но на самом деле, все так же просто и очень логично.

Вычисляя 10-процентные чаевые за ужин, который обошелся в 112,23 доллара, просто переместите десятичную точку влево на одну цифру, получится 11,22 $. Вычисляя 20-процентные чаевые, сделайте то же самое, и просто удвойте полученную сумму (20% просто в два раза больше 10%), в этом случае чаевые составят 22,44 $.

Для 15-процентных чаевых сначала определите 10% от суммы, а затем добавьте половину полученной суммы (дополнительные 5% - это половина 10-процентной суммы). Не волнуйтесь, если не можете получить точный ответ, до последнего цента. Если не заморачиваться слишком сильно с десятичными знаками, мы можем быстро вычислить, что 15-процентные чаевые от суммы 112,23 $ составляют 11 + 5,50 $, что дает нам 16,50 $. Достаточно точно. Если вы не хотите обидеть официанта, недосчитав нескольких центов, округлите сумму до целого числа и заплатите 17 долларов.

3.6. Анализ свойств психических процессов, внимания и психомоторики

Свойства продуктивности психических процессов

3.7. Структура познавательных способностей

3.8. Психология специальных способностей

Ощущение

4. Психология общих способностей

4.1. Об учёном-поэте

4.2. Творческая личность и её жизненный путь

4.3. Подход в.Н. Дружинина и н.В. Хазратовой

4.4. Психогенетика креативности и обучаемость

4.5. Обучаемость, креативность и интеллект

5. Метасистемный подход в разработке проблемы способностей (а.В. Карпов)

5.1. Задачи и гипотезы исследования

5.2. О понятии интегральных способностей личности

5.3. Рефлексивность в структуре общих способностей

Коэффициенты ранговой корреляции между уровнем развития общих способностей

Результаты «косоугольной» факторизации

Значения структурных «весов» переменных, входящих в первый фактор1

Результаты факторизации по методу «главных компонент»

Коэффициенты линейной корреляции между уровнем рефлексивности и баллами по субтестам «Теста умственных способностей»

Показатели значимости различий между высоко- и низкорефлексивными испытуемыми при выполнении субтестов «Теста умственных способностей»

5.4. Уровневый статус метакогнитивных способностей

6. Психология многосторонних и специальных способностей

6.3. О психологии музыкальных способностей

Анализ некоторых компонентов музыкальных способностей Ощущения

Средние частоты формант гласных (в Гц)

6.5. Генезис музыкального восприятия

Восприятие музыкального ритма

6.7. Музыкальная память

6.8. Основные причины неуспеха в музыкальной деятельности (е.Ф. Ященко)

6.9. Психология литературных способностей

Личность

6.11. Краткий обзор исследований математических способностей

6.12. Педагогические способности

6.13. Метаиндивидуальные характеристики учителя

Устойчивость к психическому стрессу

6.14. Художественно-творческие способности

Основные профессиональные требования к индивидуальным особенностям артиста балета

7. Исследование самоактуализации как способности у студентов разной профессиональной подготовки

7.1. Возможности творческого саморазвития личности студентов (на материале изучения типа личности, акцентуаций характера и их сопряженности)

Ценностные ориентации типов темперамента

7.2. Модели перцептивной и социальной направленности личности студентов разной профессиональной подготовки

7.3. Профессионально-личностные качества и ценностные ориентации студентов факультета сервиса и лёгкой промышленности

Методика исследования

Результаты исследования и их обсуждение

Ранги профессиональных карьер по Дж. Холланду

7. 4. Особенности самоактуализации студентов экономического и технических факультетов

Материал и методики

Результаты и их обсуждение

7.5. Различия между симптомокомплексами личностных черт у студентов экономического и технических факультетов с высоким и низким уровнями развития самоактуализации

Факторное отображение структуры личности студентов экономического и технических факультетов, имеющих высокий и низкий уровни развития самоактуализации, после варимакс-вращения

7.6. Половые и профессиональные различия в самоактуализации

Методика

Результаты

Средние значения показателей тестов р. Кеттелла и сат у студентов экономического и технических факультетов (дисперсионный анализ)

Данные, используемые для дисперсионного анализа выборки студентов экономического и технических факультетов разного пола и уровня самоактуализации

Данные дисперсионного анализа и уровней значимости различий индивидуально-психологических свойств студентов экономического и технических факультетов разного пола и уровня самоактуализации

Обсуждение результатов

7.7. Ценностно-смысловая концепция самоактуализации

Симптомокомплексы различий личностных черт и смысложизненных ориентаций студентов разных факультетов

Симптомокомплексы различий личностных черт и смысложизненных ориентаций студентов разных факультетов с высоким и низким уровнями самоактуализации (са)

3 Этап. Сравнительный анализ взаимосвязей личностных черт и смысложизненных ориентаций у студентов с высоким и низким уровнями са.

Заключение и выводы

Заключение

Общий список литературы

6.11. Краткий обзор исследований математических способностей

В исследованиях под руководством В.А. Крутецкого отражены разные уровни изучения проблемы математических, литературных и конструктивно-технических способностей. Однако все исследования были организованы и проводились по общей схеме:

1-й этап – исследование сущности, структуры конкретных способностей;

2-й этап – исследование возрастных и индивидуальных различий в структуре конкретных способностей, возрастной динамики развития структуры;

3-й этап – изучение психологических основ формирования и развития способностей.

Работы В. А. Крутецкого, И. В. Дубровиной, С. И. Шапиро дают общую картину возрастного развития математических способностей школьников на всём протяжении школьного обучения.

Специальное исследование математических способностей школьников провёл В.А. Крутецкий (1968) . Под способностью к изучению математики он понимает индивидуально-психологические особенности (прежде всего особенности умственной деятельности), отвечающие требованиям учебной математической деятельности и обусловливающие при прочих равных условиях успешность творческого овладения математикой как учебным предметом, в частности, относительно быстрое, лёгкое и глубокое овладение знаниями, умениями и навыками в области математики. В структуре математических способностей им выделены следующие основные компоненты:

1) способность к формализованному восприятию математического материала, схватыванию формальной структуры задачи;

2) способность к быстрому и широкому обобщению математических объектов, отношений и действий;

3) способность к свёртыванию процесса математического рассуждения и системы соответствующих действий – способность мыслить свёрнутыми структурами;

4) гибкость мыслительных процессов в математической деятельности;

5) способность к быстрой и свободной перестройке направленности мыслительного процесса, переключению с прямого на обратный ход мысли;

6) стремление к ясности, простоте, экономности и рациональности решений;

7) математическая память (обобщённая память на математические отношения, схемы рассуждений и доказательств, методы решения задач и принципы подхода к ним). Методика исследования способностей к математике принадлежит В.А. Крутецкому (1968).

Дубровиной И.В. разработана модификация этой методики применительно к учащимся 2 – 4 классов .

Анализ материалов, изложенных в этой работе, позволяет сделать следующие выводы.

1. У способных к математике учащихся младшего школьного возраста довольно чётко обнаруживаются такие компоненты математических способностей, как способность к аналитико-синтетическому восприятию условий задач, способность к обобщению математического материала, гибкость мыслительных процессов. Менее ясно выражены в этом возрасте такие компоненты математических способностей, как способность к свёртыванию рассуждений и системы соответствующих действий, стремление к поиску наиболее рационального, экономного (изящного) способа решения задач.

Указанные компоненты наиболее отчётливо представлены лишь у учащихся группы «Очень способные» (ОС). Это же относится и к особенностям математической памяти младших школьников. Только у учащихся группы ОС можно обнаружить признаки обобщённой математической памяти.

2. Проявляются все указанные выше компоненты математических способностей на доступном для учащихся младшего школьного возраста математическом материале, поэтому в более или менее элементарном виде.

3. Заметно развитие всех указанных выше компонентов у способных к математике учащихся от 2 к 4 классу: с годами усиливается тенденция к относительно полному аналитико-синтетическому восприятию условия задачи; более широким, быстрым и уверенным становится обобщение математического материала; происходит довольно заметное развитие способности к свёртыванию рассуждений и системы соответствующих действий, которая первоначально формируется на основе однотипных упражнений, а с годами всё чаще проявляется «с места»; к 4 классу учащиеся значительно легче переключаются с одной умственной операции на другую, качественно иную, чаще видят одновременно несколько способов решения задачи; память постепенно освобождается от хранения конкретного частного материала, всё большее значение приобретает запоминание математических отношений.

4. У исследованных малоспособных (МС) учащихся младшего школьного возраста все перечисленные выше компоненты математических способностей проявляются на сравнительно низком уровне развития (способность к обобщению математического материала, гибкость мыслительных процессов) или не обнаруживаются совсем (способность к сокращению рассуждений и системы соответствующих действий, обобщённая математическая память).

5. Сформировать основные компоненты математических способностей на более или менее удовлетворительном уровне в процессе экспериментального обучения можно было у детей группы МС только в результате упорного, настойчивого, систематического труда как со стороны экспериментатора, так и со стороны учащихся.

6. Возрастные различия в развитии компонентов математических способностей у малоспособных к математике младших школьников выражены слабо и нечётко.

В статье С.И. Шапиро «Психологический анализ структуры математических способностей в старшем школьном возрасте» показано, что в отличие от менее способных учащихся, у которых информация, как правило, хранится в памяти в узкоконкретной форме, разрозненно и недифференцированно, способные к математике учащиеся запоминают, используют и воспроизводят материал в обобщённом, «свёрнутом» виде.

Значительный интерес представляет собой исследование математических способностей и их природных предпосылок И.А. Лёвочкиной , которая считает, что хотя математические способности и не были предметом специального рассмотрения в трудах Б.М.Теплова, однако ответы на многие вопросы, связанные с их изучением, можно найти в его работах, посвященных проблемам способностей. Среди них особое место занимают две монографические работы – «Психология музыкальных способностей» и «Ум полководца», ставшие классическими образцами психологического изучения способностей и вобравшими в себя универсальные принципы подхода к этой проблеме, которые возможно и необходимо использовать при изучении любых видов способностей.

В обеих работах Б.М.Теплов не только дает блестящий психологический анализ конкретных видов деятельности, но и на примерах выдающихся представителей музыкального и военного искусства раскрывает необходимые составляющие, из которых складываются яркие таланты в этих областях. Особое внимание Б.М.Теплов уделил вопросу о соотношении общих и специальных способностей, доказывая, что успех в любом виде деятельности, в том числе в музыке и военном деле, зависит не только от специальных компонентов (например, в музыке – слух, чувство ритма), но и от общих особенностей внимания, памяти, интеллекта. При этом общие умственные способности неразрывно связаны со специальными способностями и существенно влияют на уровень развития последних.

Наиболее ярко роль общих способностей продемонстрирована в работе «Ум полководца». Остановимся на рассмотрении основных положений этой работы, поскольку они могут быть использованы при изучении других видов способностей, связанных с мыслительной деятельностью, в том числе и математических способностей. Проведя глубокое изучение деятельности полководца, Б.М. Теплов показал, какое место в ней занимают интеллектуальные функции. Они обеспечивают анализ сложных военных ситуаций, выявление отдельных существенных деталей, способных повлиять на исход предстоящих сражений. Именно способность к анализу обеспечивает первый необходимый этап в принятии верного решения, в составлении плана сражения. Вслед за аналитической работой наступает этап синтеза, позволяющего объединить в единое целое многообразие деталей. По мнению Б.М. Теплова, деятельность полководца требует равновесия процессов анализа и синтеза, при обязательном высоком уровне их развития.

Важное место в интеллектуальной деятельности полководца занимает память. Совсем не обязательно, чтобы она была универсальной. Гораздо важнее, чтобы она обладала избирательностью, то есть удерживала, прежде всего, необходимые, существенные детали. В качестве классического примера такой памяти Б.М. Теплов приводит высказывания о памяти Наполеона, который помнил буквально все, что имело непосредственное отношение к его военной деятельности, начиная от номеров частей и кончая лицами солдат. При этом Наполеон был неспособен запоминать бессмысленный материал, но обладал важной особенностью мгновенно усваивать то, что подчинялось классификации, определенному логическому закону.

Б.М. Теплов приходит к выводу, что «умение находить и выделять существенное и постоянная систематизация материала – вот важнейшие условия, обеспечивающие единство анализа и синтеза, то равновесие между этими сторонами мыслительной деятельности, которые отличают работу ума хорошего полководца» . Наряду с выдающимся умом полководец должен обладать определенными личностными качествами. Это, прежде всего, мужество, решительность, энергия, то есть то, что применительно к полководческой деятельности принято обозначать понятием «воля». Не менее важным личностным качеством является стрессоустойчивость. Эмоциональность талантливого полководца проявляется в сочетании эмоции боевого возбуждения и умении собраться, сосредоточиться.

Особое место в интеллектуальной деятельности полководца Б.М. Теплов отводил наличию такого качества, как интуиция. Он анализировал это качество ума полководца, сравнивая его с интуицией ученого. Между ними существует много общего. Основное же отличие, по мнению Б.М. Теплова, состоит в необходимости для полководца принятия срочного решения, от которого может зависеть успех операции, в то время как ученый не ограничен временными рамками. Но и в том и другом случае "озарению" должен предшествовать упорный труд, на основе которого и может быть принято единственно верное решение проблемы.

Подтверждения положениям, проанализированным и обобщенным Б.М. Тепловым с психологических позиций, можно обнаружить в работах многих выдающихся ученых, в том числе и математиков . Так, в психологическом этюде «Математическое творчество» Анри Пуанкаре подробно описывает ситуацию, при которой ему удалось сделать одно из открытий. Этому предшествовала долгая подготовительная работа, большой удельный вес в которой составлял, по мнению ученого, процесс бессознательного. За этапом «озарения» необходимо следовал второй этап – тщательной сознательной работы по приведению в порядок доказательства и его проверке. А. Пуанкаре пришел к выводу, что важнейшее место в математических способностях занимает умение логически выстроить цепь операций , которые приведут к решению задачи. Казалось бы, это должно быть доступно любому способному логически мыслить человеку. Однако далеко не каждый оказывается способным оперировать математическими символами с той же легкостью, что и при решении логических задач.

Для математика недостаточно иметь хорошую память и внимание. По мнению Пуанкаре, людей, способных к математике, отличает умение уловить порядок , в котором должны быть расположены элементы, необходимые для математического доказательства. Наличие интуиции такого рода – есть основной элемент математического творчества. Одни люди не владеют этим тонким чувством и не обладают сильной памятью и вниманием, поэтому не способны понимать математику. Другие – обладают слабой интуицией, но одарены хорошей памятью и способностью к напряженному вниманию, потому могут понимать и применять математику. Третьи – владеют такой особой интуицией и даже при отсутствии отличной памяти могут не только понимать математику, но и делать математические открытия .

Здесь речь идет о математическом творчестве , доступном немногим. Но, как писал Ж. Адамар, «между работой ученика, решающего задачу по алгебре или геометрии, и творческой работой разница лишь в уровне, в качестве, так как обе работы аналогичного характера» . Для того, чтобы понять, какие качества еще требуются для достижения успехов в математике, исследователями анализировалась математическая деятельность: процесс решения задач, способы доказательств, логических рассуждений, особенности математической памяти. Этот анализ привел к созданию различных вариантов структур математических способностей, сложных по своему компонентному составу. При этом мнения большинства исследователей сходились в одном – что нет и не может быть единственной ярко выраженной математической способности – это совокупная характеристика, в которой отражаются особенности разных психических процессов: восприятия, мышления, памяти, воображения.

Среди наиболее важных компонентов математических способностей выделяются специфическая способность к обобщению математического материала, способность к пространственным представлениям, способность к отвлеченному мышлению. Некоторые исследователи выделяют также в качестве самостоятельного компонента математических способностей математическую память на схемы рассуждений и доказательств, методы решения задач и принципы подхода к ним. Исследование математических способностей включает в себя и решение одной из важнейших проблем – поиска природных предпосылок, или задатков, данного вида способностей. Долгое время задатки рассматривались как фактор, фатально предопределяющий уровень и направление развития способностей. Классики отечественной психологии Б.М. Теплов и С.Л. Рубинштейн научно доказали неправомерность такого понимания задатков и показали, что источником развития способностей является тесное взаимодействие внешних и внутренних условий. Выраженность того или иного физиологического качества ни в коей мере не свидетельствует об обязательном развитии конкретного вида способностей. Оно может являться лишь благоприятным условием для этого развития. Типологические свойства, входящие в состав задатков и являющиеся важной их составляющей, отражают такие индивидуальные особенности функционирования организма, как предел работоспособности, скоростные характеристики нервного реагирования, способность перестройки реакции в ответ на изменение внешних воздействий.

Свойства нервной системы, тесно связанные со свойствами темперамента, в свою очередь, влияют на проявление характерологических особенностей личности (В.С. Мерлин, 1986). Б.Г. Ананьев, развивая представления об общей природной основе развития характера и способностей, указывал на формирование в процессе деятельности связей способностей и характера, приводящих к новым психическим образованиям, обозначаемым терминами «талант» и «призвание» (Ананьев Б.Г., 1980). Таким образом, темперамент, способности и характер образуют как бы цепь взаимосвязанных подструктур в структуре личности и индивидуальности, имеющих единую природную основу (Э.А. Голубева, 1993).

Основные принципы комплексного типологического подхода к изучению способностей и индивидуальности подробно изложены Э.А. Голубевой в соответствующей главе монографии. Одним из важнейших принципов является использование, наряду с качественным анализом, измерительных методов диагностики разных характеристик индивидуальности. Исходя из этого, И.А. Лёвочкина строила экспериментальное исследование математических способностей. В конкретную задачу входила диагностика свойств нервной системы, которые рассматривались в качестве задатков математических способностей, изучение личностных особенностей математически одаренных учащихся и особенностей их интеллекта. Эксперименты проводились на базе школы № 91 г. Москвы, в которой есть специализированные математические классы. В эти классы принимаются старшеклассники со всей Москвы, в основном победители районных и городских олимпиад, прошедшие дополнительное собеседование. Преподавание математики здесь ведется по более углубленной программе, дополнительно читается курс математического анализа. Исследование проводилось совместно с Е.П. Гусевой и учителем-экспериментатором В.М. Сапожниковым.

Все ученики, с которыми довелось работать исследователю в 8-10 классах, уже определились в своих интересах и склонностях. Дальнейшую свою учебу и работу они связывают с математикой. Их успешность по математике значительно превосходит успешность учеников нематематических классов. Но при общей высокой успешности внутри этой группы учащихся наблюдаются существенные индивидуальные различия. Исследование строилось таким образом: учащихся наблюдали в процессе уроков, анализировали с помощью экспертов их контрольные работы, предлагали для решения экспериментальные задания, направленные на выявление некоторых компонентов математических способностей. Кроме того, с учащимися была проведена серия психологических и психофизиологических экспериментов. Изучались уровень развития и своеобразие интеллектуальных функций, выявлялись их личностные особенности и типологические особенности нервной системы. Всего на протяжении нескольких лет были обследованы 57 учеников с выраженными способностями к математике.

Результаты

Объективное измерение уровня интеллектуального развития при помощи теста Векслера у математически одаренных ребят показало, что большинство из них имеет очень высокий уровень общего интеллекта. Цифровые значения общего интеллекта многих учащихся, обследованных нами, превышали 130 баллов. Такой величины значения по некоторым нормативным классификациям обнаруживаются лишь у 2,2% населения. В подавляющем большинстве случаев наблюдали преобладание вербального интеллекта над невербальным. Сам по себе факт наличия высокоразвитого общего и вербального интеллекта у детей с выраженными математическими способностями не является неожиданным. Многие исследователи математических способностей отмечали, что высокая степень развития словесно-логических функций является необходимым условием для математических способностей. И.А. Лёвочкину интересовала не только количественная характеристика интеллекта, но и то, как она связана с психофизиологическими, природными особенностями учащихся. Индивидуальные особенности нервной системы диагностировались с помощью электроэнцефалографической методики. В качестве показателей свойств нервной системы были использованы фоновые и реактивные характеристики электроэнцефалограммы, запись которой производилась на 17-ти канальном энцефалографе. По этим показателям проводилась диагностика силы, лабильности и активированности нервной системы.

И.А. Лёвочкина установила, используя статистические методы анализа, что более высокий уровень вербального и общего интеллекта в этой выборке имели обладатели более сильной нервной системы. Они же имели и более высокие оценки успеваемости по предметам естественного и гуманитарного циклов. По данным других исследователей, полученным на подростках-старшеклассниках общеобразовательных школ, более высокий уровень интеллекта и лучшую успеваемость имели обладатели слабой нервной системы (Голубева Э.А. с соавт. 1974, Кадыров Б.Р. 1977). Причину такого расхождения следует, вероятно, искать, прежде всего, в характере самой учебной деятельности. Учащиеся математических классов испытывают значительно большие учебные нагрузки, по сравнению с учениками обычных классов. С ними проводятся дополнительные факультативы, кроме того, помимо обязательных домашних и классных заданий, они решают множество заданий, связанных с подготовкой в высшие учебные заведения. Интересы этих ребят смещены в сторону повышенной постоянной умственной нагрузки. Такие условия деятельности предъявляют повышенные требования к выносливости, работоспособности, а поскольку главным, определяющим признаком свойства силы нервной системы является способность выдерживать длительное возбуждение, не входя в состояние запредельного торможения, то, видимо. поэтому наибольшую результативность демонстрируют те учащиеся, которые обладают такими характеристиками нервной системы, как выносливость, работоспособность.

В.А. Крутецкий, изучая математическую деятельность способных к математике учеников, обращал внимание на их характерную особенность – способность к длительному поддержанию напряжения, когда ученик может долго и сосредоточенно заниматься, не обнаруживая усталости. Эти наблюдения позволили ему предположить, что такое свойство, как сила нервной системы, может являться одной из природных предпосылок, благоприятствующих развитию математических способностей. Полученные нами соотношения отчасти подтверждают это предположение. Почему лишь отчасти? Пониженная утомляемость в процессе занятий математикой отмечалась многими исследователями у способных к математике учеников по сравнению с неспособными к ней. И.А. Лёвочкина обследовала выборку, которая состояла только из способных учащихся. Однако среди них были не только обладатели сильной нервной системы, но и те, кто характеризовались как обладатели слабой нервной системы. Это означает, что не только высокая общая работоспособность, являющаяся благоприятной природной основой для успешности в данном виде деятельности, может обеспечивать развитие математических способностей.

Анализ личностных особенностей показал, что в целом для группы учащихся с более слабой нервной системы оказались более характерны такие черты личности, как разумность, рассудительность, упорство (фактор J+ по Кеттеллу), а также независимость, самостоятельность (фактор Q2+). Лица с высокими оценками по фактору J уделяют много внимания планированию поведения, анализируют свои ошибки, проявляя при этом «осторожный индивидуализм». Высокие оценки по фактору Q2 имеют люди, склонные к самостоятельному принятию решений, способные нести за них ответственность. Этот фактор обозначается как «мыслящая интроверсия». Вероятно, обладатели слабой нервной системы достигают успешности в данном виде деятельности в том числе за счет формирования таких качеств, как планирование действий, самостоятельность.

Можно также предположить, что разные полюса данного свойства нервной системы могут быть связаны с разными компонентами математических способностей. Так известно, что свойство слабости нервной системы характеризуется повышенной чувствительностью. Именно она может лежать в основе способности интуитивного, внезапного постижения истины, «озарения» или догадки, что является одним из важных компонентов математических способностей. И хотя это только предположение, но его подтверждение можно найти в конкретных примерах среди математически одаренных учеников. Вот два самых ярких таких примера . Дима на основании результатов объективной психофизиологической диагностики может быть отнесен к представителям сильного типа нервной системы. Он – «звезда первой величины» в математическом классе. Важно отметить то, что блестящих успехов он достигает без каких-либо видимых усилий, с легкостью. Никогда не жалуется на усталость. Уроки, занятия математикой являются для него необходимой постоянной умственной гимнастикой. Особое предпочтение отдается решению нестандартных, сложных задач, требующих напряжения мысли, глубокого анализа, строгой логический последовательности. Дима не допускает неточностей в изложении материала. Если учитель при объяснении делает логические пропуски, Дима обязательно обратит на это внимание. Его отличает высокая интеллектуальная культура. Это подтверждается и результатами тестирования. У Димы самый высокий в обследованной группе показатель общего интеллекта – 149 усл.ед.

Антон – один из самых ярких представителей слабого типа нервной системы, которого нам довелось наблюдать среди математически одаренных ребят. Он очень быстро утомляется на уроке, не в состоянии долго и сосредоточенно работать, часто оставляет одни дела, чтобы без достаточного обдумывания взяться за другие. Случается, что он отказывается от решения задачи, если предвидит, что оно потребует больших усилий. Однако, несмотря на эти особенности, учителя очень высоко оценивают его математические способности. Дело в том, что он обладает прекрасной математической интуицией. Часто бывает, что он первым решает сложнейшие задания, выдавая конечный результат и опуская при этом все промежуточные этапы решения. Для него характерна способность к «озарению». Он не затрудняет себя объяснением, почему выбрано именно такое решение, но на проверку оно оказывается оптимальным и оригинальным.

Математические способности очень сложны и многогранны по своей структуре. И тем не менее, выделяются как бы два основных типа людей с их проявлением – это «геометры» и «аналитики». В истории математики яркими примерами этого могут являться такие имена, как Пифагор и Евклид (крупнейшие геометры), Ковалевская и Клейн (аналитики, создатели теории функций). В основе такого деления лежат прежде всего индивидуальные особенности восприятия действительности, в том числе и математического материала. Оно определяется не предметом, над которым работает математик: аналитики и в геометрии остаются аналитиками, тогда как геометры любую математическую реальность предпочитают воспринимать образно. В этой связи уместно привести высказывание А. Пуанкаре: «Отнюдь не обсуждаемый ими вопрос заставляет их использовать тот или другой метод. Если часто об одних говорят, что они аналитики, а других называют геометрами, то это не мешает тому, что первые остаются аналитиками, даже когда занимаются вопросами геометрии, в то время как другие являются геометрами, даже если занимаются чистым анализом» .

В школьной практике при работе с одаренными учащимися эти различия проявляются не только в разной успешности овладения разными разделами математики, но и в предпочтительном отношении к принципам решения задач. Одни ученики любые задачи стремятся решить с помощью формул, логического рассуждения, другие по возможности используют пространственные представления. Причем эти различия являются весьма устойчивыми. Конечно, среди учеников встречаются и такие, у которых наблюдается определенное равновесие этих характеристик. Они одинаково ровно овладевают всеми разделами математики, используя при этом разные принципы подхода к решению разных задач. Индивидуальные различия между учащимися в подходах к решению задач и методах их решения были выявлены И.А. Лёвочкиной не только благодаря наблюдению за учащимися при работе на уроках, но и экспериментальным путем. Для анализа отдельных компонентов математических способностей учителем-экспериментатором В.М. Сапожниковым была разработана серия специальных экспериментальных задач. Анализ результатов решения задач этой серии позволил получить объективное представление о характере мыслительной деятельности школьников и о соотношении образного и аналитического компонентов математического мышления.

Были выявлены учащиеся, которые лучше справлялись с решением алгебраических задач, а также те, кто лучше решал геометрические задачи. Эксперимент показал, что среди учащихся есть представители аналитического типа математического мышления, которые характеризуются явным преобладанием вербально-логического компонента. У них нет потребности в наглядных схемах, они предпочитают оперировать знаковыми символами. Мышление учащихся, оказывающих предпочтение геометрическим заданиям, характеризуется большей выраженностью наглядно-образного компонента. Эти учащиеся испытывают потребность в наглядном представлении и интерпретации в выражении математических отношений и зависимостей.

Из общего числа математически одаренных учеников, принявших участие в экспериментах, были выделены самые яркие «аналитики» и «геометры», составившие две крайние группы. В группу «аналитиков» вошли 11 человек, наиболее ярких представителей вербально-логического типа мышления. Группа «геометров» состояла из 5 человек, с ярким наглядно-образным типом мышления. Тот факт, что в группу ярких представителей «геометров» удалось отобрать значительно меньше учеников, можно объяснить, на наш взгляд, следующим обстоятельством. При проведении математических конкурсов и олимпиад недостаточно учитывается роль наглядно-образных компонентов мышления. В конкурсных заданиях удельный вес задач по геометрии невысок – из 4 – 5 заданий в лучшем случае одно направлено на выявление пространственных представлений у учащихся. Тем самым при отборе как бы «отсекаются» потенциально способные математики-геометры с ярким наглядно-образным типом мышления. Дальнейший анализ проводился с использованием статистического метода сравнения групповых различий (t-критерий Стьюдента) по всем, имевшимся в распоряжении психофизиологическим и психологическим показателям.

Известно, что типологическая концепция И.П. Павлова помимо физиологической теории свойств нервной системы включала в себя классификацию специально человеческих типов высшей нервной деятельности, различающихся по соотношению сигнальных систем. Это – «художники», с преобладанием первой сигнальной системы, «мыслители», с преобладанием второй сигнальной системы, и средний тип, с равновесием обеих систем. Для «мыслителей» наиболее характерным является абстрактно-логический способ переработки информации, тогда как «художники» обладают ярким образным целостным восприятием действительности. Безусловно, эти различия не носят абсолютный характер, а отражают лишь преимущественные формы реагирования. Те же принципы лежат в основе различий между «аналитиками» и «геометрами». Первые предпочитают аналитические способы решения любых математических задач, то есть по типу приближаются к «мыслителям». «Геометры» стремятся вычленить в задачах образные компоненты, тем самым действуют так, как характерно для «художников».

В последнее время появился ряд работ, в которых предпринимались попытки объединить учение об основных свойствах нервной системы с представлениями о специально человеческих типах – «художниках» и «мыслителях». Установлено, что к «художественному» типу тяготеют обладатели сильной, лабильной и активированной нервной системы, а к «мыслительному» – слабой, инертной и инактивированной нервной системы (Печенков В.В., 1989). В работе И.А. Лёвочкиной из показателей различных свойств нервной системы наиболее информативной психофизиологической характеристикой при диагностике типов математического мышления оказалась характеристика свойства силы–слабости нервной системы. В группу «аналитиков» вошли обладатели относительно более слабой нервной системы, по сравнению с группой «геометров», то есть выявленные различия между группами по свойству силы–слабости нервной системы оказались в русле ранее полученных результатов. По двум другим свойствам нервной системы (лабильности, активированности) статистически значимых различий установлено не было, а наметившиеся тенденции не противоречат исходным предположениям.

Проведен также сравнительный анализ результатов диагностики личностных особенностей, полученных с помощью опросника Кэттелла. Статистически значимые различия между группами были установлены по двум факторам – Н и J. По фактору Н группу «аналитиков» можно в целом характеризовать как относительно более сдержанную, с ограниченным кругом интересов (Н-). Обычно люди с низкими показателями по этому фактору замкнуты, не стремятся к дополнительным контактам с людьми. Группа «геометров» имеет по этому личностному фактору большие величины (Н+) и отличается по нему определенной беззаботностью, общительностью. Такие люди не испытывают трудностей в общении, много и охотно идут на контакты, не теряются в неожиданных обстоятельствах. Они артистичны, способны выдерживать значительные эмоциональные нагрузки. По фактору J, который в целом характеризует такую черту личности, как индивидуализм, группа «аналитиков» имеет высокие среднегрупповые значения. Это означает, что им свойственны разумность, рассудительность, упорство. Люди, имеющие высокий вес по этому фактору, уделяют много внимания планированию своего поведения, при этом оставаясь замкнутыми и действуя индивидуально.

В противовес им, ребята, входящие в группу «геометров», энергичны, экспрессивны. Они любят совместные действия, готовы включиться в групповые интересы и проявить при этом свою активность. Наметившиеся различия показывают, что исследуемые группы математически одаренных учащихся наиболее расходятся по двум факторам, которые, с одной стороны, характеризуют определенную эмоциональную направленность (сдержанность, рассудительность – беззаботность, экспрессивность), с другой, особенности в межличностных отношениях (замкнутость – общительность). Интересно, что описание этих черт в значительной степени совпадает с описанием типов экстравертов–интровертов, предложенных Айзенком. В свою очередь, эти типы имеют определенную психофизиологическую интерпретацию. Экстраверты – это сильные, лабильные, активированные; интроверты – слабые, инертные, инактивированные. Тот же набор психофизиологических характеристик получен для специально человеческих типов высшей нервной деятельности – «художников» и «мыслителей».

Результаты, полученные И.А. Лёвочкиной, позволяют выстроить определенные синдромы взаимосвязи психофизиологических, психологических признаков и типов математического мышления.

«Аналитики» «Геометры»

(абстрактно-логический (наглядно-образный тип мышления)

тип мышления)

Слабая н.с. Сильная н.с. рассудительность беззаботность замкнутость общительность интроверты экстраверты

Таким образом, проведенное И.А. Лёвочкиной комплексное исследование математически одаренных школьников позволило экспериментально подтвердить наличие определенного сочетания психологических и психофизиологических факторов, составляющих благоприятную основу для развития математических способностей. Это касается как общих, так и специальных моментов в проявлении данного вида способностей.

Несколько слов о способностях к чтению чертежей .

В исследовании Н. П. Линьковой «Способности к чтению чертежей у младших школьников» доказано, что умение читать и выполнять чертежи – одно из условий, обеспечивающих успешность деятельности в области техники. Поэтому изучение способностей к чтению чертежей входит в качестве составной части в исследование, посвященное техническому творчеству.

Обычно конструктор использует чертежи для выражения мыслей, возникающих у него в процессе решения задачи.

Конструктору необходим такой уровень владения навыками чтения чертежей, при котором сам процесс создания образа по его плоскому изображению превращается из специальной цели в средство, помогающее решать какую-либо другую задачу.

Разница между этими двумя уровнями владения навыками чтения чертежей заключается не только в том, какая цель при этом ставится – представить объект по его изображению или использовать полученный образ для решения какой-либо задачи, но и в самом характере деятельности.

Эксперименты, проведённые с младшими школьниками, подтвердили результаты, полученные в работе с учениками старших классов.

Для успешного овладения приёмами чтения чертежей наиболее важной является способность ученика к определённым логическим операциям. К ним, прежде всего, относится умение проводить логический анализ изображений и соотносить их между собой, выдвигать гипотезы, предвосхищающие решения, делать логические заключения на основе имеющихся изображений и проводить необходимую проверку своих предположений.

Способность к овладению такого рода операциями, условно названную способностью к логическому мышлению, можно считать центральной среди компонентов, обеспечивающих успешное овладение приёмами чтения чертежей.

Она должна сочетаться с гибкостью мышления, со способностью отказываться от неправильного пути, по которому пошло решение, или даже от уже полученного решения.

Мысленное представление образа объекта на основе его изображения может возникнуть только в результате такого анализа.

Появление образа является результатом определённых действий. Если задача для ученика слишком лёгкая, эти действия носят свёрнутый, малозаметный характер. Но они сразу же проявляются в случае усложнения задачи или появления в ходе решения каких-либо затруднений.

Успешность чтения чертежей обеспечивается одновременно и логическим анализом изображения, и деятельностью пространственного воображения, без которого невозможно возникновение образа. Однако логическому анализу принадлежит в этой работе ведущая роль. Он определяет направление поиска решения – неудачный или неполный анализ приводит к появлению неправильного образа.

Способность к созданию устойчивых и ярких образов в данной ситуации только усложнит положение.

2. Эксперименты показали, что у некоторых учеников младшего школьного возраста компоненты способностей, необходимые для овладения приёмами чтения чертежей, достигли такого уровня, что они без всяких затруднений выполняют самые разнообразные задания из школьного курса черчения.

У большей же части учеников этого возраста необходимость проводить логический анализ изображений, делать умозаключения и обосновывать свои решения вызывает серьёзные затруднения. Речь идёт о степени развития способности к логическому мышлению.

Вывод: обучение проекционному черчению можно начинать в начальной школе. Возможность организации такого обучения была проверена в ходе специального эксперимента, проведённого совместно с Э.А. Фарапоновой (Линькова, Фарапонова, 1967).

Но при организации такого обучения в методику должны быть внесены серьёзные изменения.

Эти изменения должны, прежде всего, идти по линии ослабления на первом этапе обучения требований к логическому анализу. Не менее важно, если не разгрузить, то хотя бы не усложнять требований, предъявляемых к пространственному воображению введением таких приёмов объяснения материала, как проектирование точек на плоскости трёхгранного угла, мысленный поворот моделей или их изображений.

Объясняется данное требование не столько слабым развитием у детей этого возраста пространственного воображения (большей частью оно оказывается достаточно развитым), сколько их неподготовленностью к одновременному выполнению нескольких операций.

Проведённое исследование показало наличие очень больших индивидуальных различий между учениками в степени развития у них способностей, необходимых для овладения приёмами чтения чертежей, начиная с момента прихода их в школу. Вопрос о причинах этих различий и о путях развития данных способностей не рассматривается в исследовании Н.П. Линьковой.

"