Дробь - число, которое состоит из целого числа долей единицы и представляется в виде: a/b

Числитель дроби (a) - число, находящееся над чертой дроби и показывающее количество долей, на которые была поделена единица.

Знаменатель дроби (b) - число, находящееся под чертой дроби и показывающее на сколько долей поделили единицу.

2. Приведение дробей к общему знаменателю

3. Арифметические действия над обыкновенными дробями

3.1. Сложение обыкновенных дробей

3.2. Вычитание обыкновенных дробей

3.3. Умножение обыкновенных дробей

3.4. Деление обыкновенных дробей

4. Взаимно обратные числа

5. Десятичные дроби

6. Арифметические действия над десятичными дробями

6.1. Сложение десятичных дробей

6.2. Вычитание десятичных дробей

6.3. Умножение десятичных дробей

6.4. Деление десятичных дробей

#1. Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится дробь, равная данной.

3/7=3*3/7*3=9/21, то есть 3/7=9/21

a/b=a*m/b*m - так выглядит основное свойство дроби.

Другими словами, мы получим дробь, равную данной, умножив или разделив числитель и знаменатель исходной дроби на одно и то же натуральное число.

Если ad=bc , то две дроби a/b =c /d считаются равными.

Например, дроби 3/5 и 9/15 будут равными, так как 3*15=5*9, то есть 45=45

Сокращение дроби - это процесс замены дроби, при котором новая дробь получается равной исходной, но с меньшим числителем и знаменателем.

Сокращать дроби принято, опираясь на основное свойство дроби.

Например, 45/60=15/ ​ ​20 =9/12=3/4 ​ ​ ​ (числитель и знаменатель делится на число 3, на 5 и на 15 ).

Несократимая дробь - это дробь вида 3/4 ​ ​ , где числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами. Основная цель сокращения дроби - сделать дробь несократимой.

2. Приведение дробей к общему знаменателю

Чтобы привести две дроби к общему знаменателю, надо:

1) разложить знаменатель каждой дроби на простые множители;

2) умножить числитель и знаменатель первой дроби на недостающие

множители из разложения второго знаменателя;

3) умножить числитель и знаменатель второй дроби на недостающие множители из первого разложения.

Примеры: приведите дроби к общему знаменателю .

Разложим знаменатели на простые множители: 18=3∙3∙2, 15=3∙5

Умножили числитель и знаменатель дроби на недостающий множитель 5 из второго разложения.

числитель и знаменатель дроби на недостающие множители 3 и 2 из первого разложения.

= , 90 – общий знаменатель дробей .

3. Арифметические действия над обыкновенными дробями

3.1. Сложение обыкновенных дробей

а) При одинаковых знаменателях числитель первой дроби складывают с числителем второй дроби, оставляя знаменатель прежним. Как видно на примере:

a/b+c/b=(a+c)/b ​ ​ ;

б) При разных знаменателях дроби сначала приводят к общему знаменателю, а затем выполняют сложение числителей по правилу а) :

7/3+1/4=7*4/12+1*3/12=(28+3)/12=31/12

3.2. Вычитание обыкновенных дробей

а) При одинаковых знаменателях из числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби, оставляя знаменатель прежним:

a/b-c/b=(a-c)/b ​ ​ ;

б) Если же знаменатели дробей различны, то сначала дроби приводят к общему знаменателю, а затем повторяют действия как в пункте а) .

3.3. Умножение обыкновенных дробей

Умножение дробей подчиняется следующему правилу:

a/b*c/d=a*c/b*d,

то есть перемножают отдельно числители и знаменатели.

Например:

3/5*4/8=3*4/5*8=12/40.

3.4. Деление обыкновенных дробей

Деление дробей производят следующим способом:

a/b:c/d=a*d/b*c,

то есть дробь a/b умножается на дробь, обратную данной, то есть умножается на d/c.

Пример: 7/2:1/8=7/2*8/1=56/2=28

4. Взаимно обратные числа

Если a*b=1, то число b является обратным числом для числа a .

Пример: для числа 9 обратным является 1/9 ​ ​ , так как 9*1/9= 1 , для числа 5 - обратное число 1/5 ​ ​ , так как 5* ​ 1/5 ​ ​ = 1 .

5. Десятичные дроби

Десятичной дробью называется правильная дробь, знаменатель которой равен 10, 1000, 10 000, …, 10^n 1 0 , 1 0 0 0 , 1 0 0 0 0 , . . . , 1 0 ​ n ​ ​ .

Например: 6/10=0,6; 44/1000=0,044 ​ .

Таким же способом пишутся неправильные со знаменателем 10^n или смешанные числа.

Например: 51/10=5,1; 763/100=7,63

В виде десятичной дроби представляется любая обыкновенная дробь со знаменателем, который является делителем некой степени числа 10 .

менателем, который является делителем некой степени числа 10 .

Пример: 5 - делитель числа 100 , поэтому дробь 1/5=1 *20/5*20=20/100=0,2 ​ 0 = 0 , 2 .

6. Арифметические действия над десятичными дробями

6.1. Сложение десятичных дробей

Для сложения двух десятичных дробей, нужно их расположить так, чтобы друг под другом оказались одинаковые разряды и запятая под запятой, а затем выполнить сложение дробей как обычных чисел.

6.2. Вычитание десятичных дробей

Выполняется аналогично сложению.

6.3. Умножение десятичных дробей

При умножении десятичных чисел достаточно перемножить заданные числа, не обращая внимания на запятые (как натуральные числа), а в полученном ответе запятой справа отделяется столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях суммарно.

Давайте выполним умножение 2,7 на 1,3 . Имеем 27 \cdot 13=351 2 7 ⋅ 1 3 = 3 5 1 . Отделяем справа две цифры запятой (у первого и второго числа - одна цифра после запятой; 1+1=2 1 + 1 = 2 ). В итоге получаем 2,7 \cdot 1,3=3,51 2 , 7 ⋅ 1 , 3 = 3 , 5 1 .

Если в полученном результате получается меньше цифр, чем надо отделить запятой, то впереди пишут недостающие нули, например:

Для умножения на 10 , 100 , 1000 , надо в десятичной дроби перенести запятую на 1 , 2 , 3 цифры вправо (в случае необходимости справа приписывается определенное число нулей).

Например: 1,47 \cdot 10 000 = 14 700 1 , 4 7 ⋅ 1 0 0 0 0 = 1 4 7 0 0 .

6.4. Деление десятичных дробей

Деление десятичной дроби на натуральное число производят также, как и деление натурального числа на натуральное. Запятая в частном ставится после того, как закончено деление целой части.

Если целая часть делимого меньше делителя, то в ответе получается нуль целых, например:

Рассмотрим деление десятичной дроби на десятичную. Пусть нужно разделить 2,576 на 1,12 . Первым делом, умножим делимое и делитель дроби на 100 , то есть перенесем запятую вправо в делимом и делителе на столько знаков, сколько их стоит в делителе после запятой (в данном примере на две). Затем нужно выполнить деление дроби 257,6 на натуральное число 112 , то есть задача сводится к уже рассмотренному случаю:

Бывает так, что не всегда получается конечная десятичная дробь при делении одного числа на другое. В результате получается бесконечная десятичная дробь. В таких случаях переходят к обыкновенным дробям.

Например, 2,8: 0,09= 28/10: 9/100= 28*100/10*9=2800/90=280/9 = ​ 31 1/9 ​ ​ .

Действия с обыкновенными дробями

Вспомним, как производить простейшие вычисления с обыкновенными дробями. Чтобы перемножить дроби, нужно умножить их числители и записать результат в числитель, а потом перемножить знаменатели и результат записать в знаменатель:

Если числитель и знаменатель дроби делятся на одно и то же число, то на него обычно делят каждый из них и называют это «сократить дробь»:

Иногда сокращение выполняют во время умножения дробей:

Если дроби смешанные (с выделенной целой частью), то нужно их перевести в обыкновенные (состоящие только из числителя и знаменателя). Для этого целую часть умножают на знаменатель, прибавляют числитель и результат записывают в числитель, а знаменатель оставляют прежним:


Чтобы перевести неправильную дробь (числитель больше знаменателя) в смешанную (выделить целую часть), нужно числитель разделить на знаменатель с остатком. Тогда неполное частное будет целой частью, остаток будет числителем, а знаменатель останется тем же:

Чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную, нужно данный знаменатель привести к знаменателю 10, 100, 1000 и т.д.:

Или числитель разделить на знаменатель:


Чтобы умножить обыкновенную дробь на десятичную, нужно или обыкновенную перевести в десятичную, или десятичную в обыкновенную:


Чтобы разделить число на обыкновенную дробь, нужно в этой дроби поменять местами числитель со знаменателем и умножить число на полученную дробь:

Чтобы целое число записать в виде обыкновенной дроби, нужно записать его со знаменателем 1:


Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители и записать числитель новой дроби, а знаменатель оставить прежним. Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно вычесть их числители и записать числитель новой дроби, а знаменатель оставить прежним. Если у дробей есть целая часть, то нужно сначала сложить или вычесть целые части:

Сложить дроби с разными знаменателями можно следующим способом:
умножим числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительные множители так, чтобы новый знаменатель был равен наименьшему общему кратному знаменателей исходных дробей. Сложим полученные дроби с одинаковым знаменателем:

Бывает так, что дробная часть вычитаемого меньше уменьшаемого, тогда мы должны занять 1 из целой части уменьшаемого:

Действия с десятичными дробями:

Правило 1 : Чтобы сложить (вычесть) десятичные дроби, нужно: 1) записать их друг под другом так, чтобы запятая была под запятой (если в дробях разное количество знаков после запятой, то их нужно уравнять с помощью нулей; 2) выполнить сложение (вычитание), не обращая внимания на запятую; 3) поставить в ответе запятую под запятой (если требуется, отбросить нули после запятой).

4,12

3,78

7,90=7,9

12,76 0

8,674

4,086

Правило 2 : Чтобы перемножить две десятичные дроби, нужно 1) выполнить умножение, не обращая внимания на запятые; 2) отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе.

0,671

2,9

6039

1342

1,9459

2,35

1,4

940

235

3,290=3,29

Правило 3 : Чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно: 1) сделать из десятичной дроби натуральное число, перенеся запятую вправо; 2) в делимом перенести запятую на такое же количество цифр, как и в десятичной дроби (либо добавить 0,если это натуральное число); 3) после этого выполнить деление на натуральное число (не забыв поставить запятую в частном там, где закончилось деление целой части)..

Правило 4. Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д., надо в этой дроби перенести запятую вправо на столько цифр, сколько нулей стоит в множителе после единицы.

7, 567·10 =75,67

3,1·100 = 310

23,981·100 = 23981

Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д., надо в этой дроби перенести запятую влево на столько цифр, сколько нулей стоит в множителе после единицы.

7, 567 : 10 = 0,7567

3,1 : 100 = 0, 031

2,398 : 1000 = 0, 002398

При сложении десятичных дробей надо записать их одну под другой так, чтобы одинаковые разряды были друг под другом, а запятая - под запятой, и сложить дроби так, как складывают натуральные числа. Сложим, напрнмер, дроби 12,7 и 3,442. Первая дробь содержит одну цифру после запятой, а вторая - три. Чтобы выполнить сложение, преобразуем первую дробь так, чтобы после запятой было три цифры: , тогда

Аналогично выполняется вычитание десятичных дробей. Найдем разность чисел 13,1 и 0,37:

При умножении десятичных дробей достаточно перемножить заданные числа, не обращая внимания на запятые (как натуральные числа), а затем в результате справа отделить запятой столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях суммарно.

Например, умножим 2,7 на 1,3. Имеем . Запятой отделим справа две цифры (сумма цифр у множителей после запятой равна двум). В итоге получаем 2,7 1,3=3,51.

Если в произведении получается меньше цифр, чем надо отделить запятой, то впереди пишут недостающие нули, например:

Рассмотрим умножение десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т. д. Пусть нужно умножить дробь 12,733 на 10. Имеем . Отделив справа запятой три цифры, получим Но . Значит,

12 733 10=127,33. Таким образом, умножение десятичной дроби на Ю сводится к переносу запятой на одну цифру вправо.

Вообще чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000, надо в этой дроби перенести запятую на 1, 2, 3 цифры вправо Сприписав в случае необходимости к дроби справа определенное число нулей). Например,

Деление десятичной дроби на натуральное число выполняется так же, как деление натурального числа на натуральное, а запятую в частном ставят после того, как закончено деление целой части. Пусть надо разделить 22,1 на 13:

Если целая часть делимого меньше делителя, то в ответе получается нуль целых, например:

Рассмотрим теперь деление десятичной дроби на десятичную. Пусть нужно разделить 2,576 на 1,12. Для этого и в делимом, и в делителе перенесем запятую вправо на столько цифр, сколько их имеется после запятой в делителе (в данном примере на две). Иными словами, умножим делимое и делитель на 100 - от этого частное не изменится. Тогда нужно разделить дробь 257,6 на натуральное число 112, т. е. задача сводится к уже рассмотренному случаю:

Чтобы разделить десятичную дробь на надо в этой дроби перенести запятую на цифр влево (при этом в случае необходимости слева приписывается нужное число нулей). Например, .

Как для натуральных чисел деление не всегда выполнимо, так оно не всегда выполнимо и для десятичных дробей. Разделим для примера 2,8 на 0,09.

Математический тренажер по теме

«Совместные действия с десятичными дробями»

Составила учитель математики

Толмачева Надежда Алексеевна

МБОУ СОШ №69 г. Нижний Тагил

Пояснительная записка

Тренажер по математике предназначен для учащихся 5кл-6кл, его можно использовать в работе с любым УМК по математике, а также при подготовке учащихся 9 класса к сдаче ОГЭ.

Тренажер предназначен как для работы в классе, так и для самостоятельной работы дома.

Тренажер обеспечивает возможность выработки осознанного применения всех правил действий с десятичными дробями.

Тренажер можно использовать в виде первичного контроля знаний, а также и в коррекционной работе. Задания тренажера позволяют предложить ученику выполнить больший объем вычислений за небольшое время. Таким образом оттачиваются не только вычислительные навыки, но и тренируется внимание, развивается оперативная память ученика.

Задания тренажера можно предлагать как для индивидуальной, так и для коллективной работы в классе.

Математический тренажер

Вариант 1
	15,3 * 5,4 - 4,2* (5,12 – 4,912) + 16,0036
	9,84 - 16,32 * (8 – 7,45) + 2,186
	(2,12 + 1,07) * (2,12 – 1,07)
	86,4 * (17,01: 4,2) : 6,4
	42,26 – 34,68: (33,32: 9,8)
	40 – (7,12 + 11,043: 2,7)
	12,6: (2,04 + 4,26) – 0,564
	7,371: (5 – 3,18) + 2,05 *(17,82 – 7)
	(5,2: 26 + 26: 5,2) *6,1 + 5,25: 5
	27,5967: (8 – 1,186) + 3,02
	(20 – 13,7) * 7,4 + 18: 0,6
	(4,694 - 3,998) : 4,35 + (4,5 * 5,4 – 0,06)
	(4,6 * 3,5 + 15,32) : 31,42 + (7,26 – 5,78) : 0,148
	(101,96 – 6,8 * 7,2) : 4,24 – 3,4 * (10 – 6,35)
	7,72 * 2,25 – 4,06: (0,824 + 1,176) – 12,423
	51,328: 6, 4 + 3,2 * (10 – 4,7) * 2,05
	(42,12 * 0,12 + 112,016* 0,1) : 1,6 – 9,424
	((4,2 *0,81 – 6,8*0,05) : 0,5)) : 200
	2,6* (4,4312 + 15,5688) – 6,66: (8,2 – 6,72)
	(0,624: 4,16 + 6,867: 2,18) *2,08 – 4,664
	4260 + 42,6: (62,06 + 37,94) – 42,6: (52,44 - 52,43)
	5: 0,25 + 0,6 *(9,275 – 4,275) : 0,1
	3,1: 100 + (6 – 0,3: 100) *10
	0,415 +(2,85: 0,6*3,2 – 2,72: 8) + 5,134: 0,17
	0,1: 0,002 – 0,5*(7,91: 0,565 – 11,1:1,48)
	0,2: 0,004 + (7,91: 0,565 – 44,4: 5,92) *0,5
	4,735: 0,5 + 14,95: 1,3 + 2,121: 0,7
	(0,1955 + 0,187) : 0,085
	(86,9 + 667,6) : (37,1 + 13,2)
	(0,008 + 0,992) * (5 *0,6 – 1,4)

Математический тренажер

Действия с десятичными дробями

Вариант 2
	(130,2 – 30,8) : 2,8 - 21,84
	3,712: (7 – 3,8) + 1,3* (2,74 + 0,66)
	(3,4: 1,7 + 0,57: 1,9)* 4,9 + 0,0825: 2,75
	10,79: 8,3*0,7 - 0,46 * 3,15: 6,9
	(21,2544: 0,9 + 1,02 * 3,2) : 5,6
	4,36: (3,15 + 2,3) + (0,792 – 0,78) * 350
	(3,91: 2,3 * 5,4 – 4,03) * 2,4
	6,93: (0,028 + 0,36 * 4,2) - 3,5
	42,165 – 22,165: (0,61 + 3,42)
	((4: 0,128 + 14628,25) : 1,011* 0,00008 + 6,84) : 12,5
	687,8 + (88,0802 – 85,3712) : 0,045
	(3,1 * 5,3 – 14,39) : 1,7 + 0,8
	(3,8 * 1,75: 0,95 – 1,02) : 2,3 + 0,4
	((23,79: 7,8 – 6,8: 17) * 3,04 – 2,04) * 0,85
	0,15: 0,01 + (6 + 9,728: 3,2) * 2,5 – 1,4
	1,44: 3,6 + 0,8 + 3,6: 1,44* (0,1 - 0,02)
	3,45 * (11,2 + 75,6) – 0,93 * 1,26
	4,25: 0,25 – 0,06 * 82 + 0,4
	(0,237 + 45,6) * 12,01 - 11,1* (237,1 – 229,9)
	5,8 – 0,27 * 3,6 + 5,172
	12 – 5,3: (19,6: 0,35 - 0,06 * 50)
	(0,6 + 0,25 – 0,125) * 3,2 + 4,5: 100
	(15,5: 0,25 – 0,08 * 200) : 2,3 – 1,3
	(87,05 * 2,7 – 55,68:32) * 0,8: 0,02
	522,348: 87 + 2,7 * (0,84 – 0,128: 0,16)
	6400 * 0,0145 – (1272,6: 0,42 – 3000)
	(0,7: 1,4 – 0,02) : 0,012 + 1,6 * (0,548 – 0,023)
	(1,184: 3,2 + 0,832: 0,4) : 0,5 + 1,5
	4,96 ; 10 + 35,8: 100 - 0,0042
	(0,04 + 3,59) * (7,35 + 2,65) : 300

Математический тренажер

Действия с десятичными дробями

Вариант 3
	2,5 + 0,56* 28 + 0,125*15 – 0,12*7
	12,8: 4 + 76,8: 12 – 42,6: 6 – 2,4
	4,01 + 43,6: 10 – 73,2: 30 + 15,4: 100
	176,4: 100 – 0,041*40 + 13,5:50 +0,3
	(16,4 + 13,2)*3 – (10,6 + 4,8) *2 – 23,2
	(40,65 - 32,6) : 5 + (4,72 _ 2,24)*3
	4,735: 0,5 + 14,95: 1,3 + 2,121: 0,7 – 21,6
	0,01105 + 0,05 - 0,3417: 34 -_ 0,875: 125
	(5,72 – 3,21)*5 + (86,9 + 667,6) : (37,1 + 13,2)
	(0,1955 + 0,187) : 0,085 – (4,72 – 4,72)*0,157
	4,9 – (0,008 + 0,992) * (5 *0,6 – 1,4)
	(50000 – 1397,3) : (20,4 + 33,603) – 856
	3,7 *0,18 + 35,9 *0,26 – 0,109 *91
	34,98: 6,6 + 5,141: 0,53 – 0,8379: 0,057
	0,131 *470 + 26,97: 2,9 - 50,4 *1,4
	0,439 *97 – 182,75: 4,3 + 31,9 *0,43
	(20,4 – 18,23)* 4,3 + (0,40713 + 0,44176) : 0,67
	(0,357 + 7,043)*0,85 + (52 – 1,928) : 5,69
	(1,5 - 0,4732)* 35 – (0,6092 + 0,0718) : 0,75
	(139,4 + 16,6)* 0,039 - (20 – 17,54) : 2,5
	4,1819 + 0,73 *(5,375 + 2,595)
	5,0143 – 65,9*(0,0612 + 0,0058)
	(0,83 *3,7 + 9,741:51 – 0,012) : 0,325
	(67,21: 0,143 – 0,546*850 + 2,1) : 1,25
	(79* 0,63 – 9,558: 5,4 – 26,94) : 0,324
	(11,328: 16 + 7,752: 7,6) : 0,16
	13,7 – (0,53 *6,7 + 1,77*3,1 + 0,004) : 0,66
	5,3: (2,87* 0,53 – 0,043 *7,7 – 0,19)
	(3,06 – 2,97) * (5,6*0,93 – 0,84*6,2)
	(5,4*0,77 – 0,008) : (2,747: 0,67+ 0,05)

Математический тренажер

Действия с десятичными дробями

Вариант 4
	589,72:16 – 18,305:7 + 5,67: 4
	(86,9 + 667,6) : (37,1 +13,2)
	(0,93 + 0,07) : (0,93 – 0,805)
	1,35: 2,7 + 6,02 – 5,9 + 0,4: 2,5 *(4,2 – 1,075)
	((14,068 + 15,78) : (1,875 + 0,175)) : (0,325+ 0,195)
	(0,578 + 0,172)* (0,823 + 0,117) – 1,711: (4,418 + 1,382)
	(39,3 + 116,7) *0,39 – (19,01 -16,56) : 2,5
	(2,747: 0,67 + 0,05) : (0,54* 7,7 – 0,008)
	5,76*4,76: 6,12 + 81,9: 58,5*2,05
	25,6: (38,07 + 1,93) + 0,037 *10
	(3,7011: 0,73 – 9,27: 4,5 – 1,41) :1,6
	40,86: 4,5 – 0,6039: 5,49 + 0.338: 0,13
	(85,9 +667,1) : ((37 +13,2) + (11,44 – 6,42)*10
	1,224: (7 – 2,92) + 1,06*(13,5 – 3)
	(7,5* 48 – 8,2* 9,5 + 141,4) : (254,1:4,2)
	0,63*69 – 10,048: 6,4 – 19,44: 32,4 *0,8
	(3,8: 19 + 1,9: 3,8) *5,2 + 7,28: 7
	(4,9 + 1,06 – 0,98) : (0,83*0,6) : 2,4
	(28,7 *0,15) : (0,25 *0,21) + 22,5:1,25
	0,1: 0,002 + (7,91: 0,565 - 11,1: 1,48)
	(0,2028:0,24 – 0,32 *1,5) *(4,05 – 13,1625: 4,05)
	(97,44: 0,48 + 128,64: 3,2) *0,25 – 17,89
	5,4 + ((4,7 – 2,85)*1,8 + 0,0156: 0,13)
	(1,2 *0,15 + 12:100 – 1,4: 10) : 0,1
	0,545: 0,5 +2,75 *0,4 – 0,45 *3,8
	0,6 * (7,24: 0,8 – 0,968: 0,16) + 2,25 *0,04
	(6,4 *0,025 + 7,07: 3,5 – 3,68: 4) : 0,9
	2,5 *(3: 6 – 0,2: 5 + 1,2 *0,15)
	(5,508: 0,27 – 10,2 *1,3) : 0,7 + 1,3: 0,1
	1,5 + 0,5*(4,214: 0,14 – 5,436: 1,8) * 0,1

Ответы

Математический тренажер

Действия с десятичными дробями

	Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4

Из множества дробей, встречающихся в арифметике, отдельного внимания заслуживают такие, у которых в знаменателе стоит 10, 100, 1000 - в общем, любая степень десятки. У этих дробей есть специальное название и форма записи.

Десятичная дробь - это любая числовая дробь, в знаменателе которой стоит степень десятки.

Примеры десятичных дробей:

Зачем вообще потребовалось выделять такие дроби? Почему для них нужна собственная форма записи? На то есть как минимум три причины:

1. Десятичные дроби намного удобнее сравнивать. Вспомните: для сравнения обычных дробей их требуется вычесть друг из друга и, в частности, привести дроби к общему знаменателю. В десятичных дробях ничего подобного не требуется;
2. Сокращение вычислений. Десятичные дроби складываются и умножаются по собственным правилам, и после небольшой тренировки вы будете работать с ними намного быстрее, чем с обычными;
3. Удобство записи. В отличие от обычных дробей, десятичные записываются в одну строчку без потери наглядности.

Большинство калькуляторов также дают ответы именно в десятичных дробях. В некоторых случаях другой формат записи может привести к проблемам. Например, что, если потребовать в магазине сдачу в размере 2/3 рубля:)

Правила записи десятичных дробей

Основное преимущество десятичных дробей - удобная и наглядная запись. А именно:

Десятичная запись - это форма записи десятичных дробей, где целая часть отделяется от дробной с помощью обычной точки или запятой. При этом сам разделитель (точка или запятая) называется десятичной точкой.

Например, 0,3 (читается: «ноль целых, 3 десятых»); 7,25 (7 целых, 25 сотых); 3,049 (3 целых, 49 тысячных). Все примеры взяты из предыдущего определения.

На письме в качестве десятичной точки обычно используется запятая. Здесь и далее на всем сайте тоже будет использоваться именно запятая.

Чтобы записать произвольную десятичную дробь в указанной форме, надо выполнить три простых шага:

1. Выписать отдельно числитель;
2. Сдвинуть десятичную точку влево на столько знаков, сколько нулей содержит знаменатель. Считать, что изначально десятичная точка стоит справа от всех цифр;
3. Если десятичная точка сдвинулась, а после нее в конце записи остались нули, их надо зачеркнуть.

Бывает, что на втором шаге у числителя не хватает цифр для завершения сдвига. В этом случае недостающие позиции заполняются нулями. Да и вообще, слева от любого числа можно без ущерба для здоровья приписывать любое количество нулей. Это некрасиво, но иногда полезно.

На первый взгляд, данный алгоритм может показаться довольно сложным. На самом деле все очень и очень просто - надо лишь немного потренироваться. Взгляните на примеры:

Задача. Для каждой дроби укажите ее десятичную запись:

Числитель первой дроби: 73. Сдвигаем десятичную точку на один знак (т.к. в знаменателе стоит 10) - получаем 7,3.

Числитель второй дроби: 9. Сдвигаем десятичную точку на два знака (т.к. в знаменателе стоит 100) - получаем 0,09. Пришлось дописать один ноль после десятичной точки и еще один - перед ней, чтобы не оставлять странную запись вида «,09».

Числитель третьей дроби: 10029. Сдвигаем десятичную точку на три знака (т.к. в знаменателе стоит 1000) - получим 10,029.

Числитель последней дроби: 10500. Снова сдвигаем точку на три знака - получим 10,500. В конце числа образовались лишние нули. Зачеркиваем их - получаем 10,5.

Обратите внимание на два последних примера: числа 10,029 и 10,5. Согласно правилам, нули справа надо зачеркнуть, как это сделано в последнем примере. Однако ни в коем случае нельзя поступать так с нулями, стоящими внутри числа (которые окружены другими цифрами). Именно поэтому мы получили 10,029 и 10,5, а не 1,29 и 1,5.

Итак, с определением и формой записи десятичных дробей разобрались. Теперь выясним, как переводить обычные дроби в десятичные - и наоборот.

Переход от обычных дробей к десятичным

Рассмотрим простую числовую дробь вида a /b . Можно воспользоваться основным свойством дроби и умножить числитель и знаменатель на такое число, чтобы внизу получилась степень десятки. Но прежде, чем это делать, прочитайте следующее:

Существуют знаменатели, которые не приводятся к степени десятки. Учитесь распознавать такие дроби, потому что с ними нельзя работать по алгоритму, описанному ниже.

Вот такие дела. Ну и как понять, приводится знаменатель к степени десятки или нет?

Ответ прост: разложите знаменатель на простые множители. Если в разложении присутствуют только множители 2 и 5, это число можно привести к степени десятки. Если найдутся другие числа (3, 7, 11 - что угодно), о степени десятки можно забыть.

Задача. Проверить, можно ли представить указанные дроби в виде десятичных:

Выпишем и разложим на множители знаменатели этих дробей:

20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 - присутствуют только числа 2 и 5. Следовательно, дробь можно представить в виде десятичной.

12 = 4 · 3 = 2 2 · 3 - есть «запретный» множитель 3. Дробь не представима в виде десятичной.

640 = 8 · 8 · 10 = 2 3 · 2 3 · 2 · 5 = 2 7 · 5. Все в порядке: кроме чисел 2 и 5 ничего нет. Дробь представима в виде десятичной.

48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 3 = 2 4 · 3. Снова «всплыл» множитель 3. Представить в виде десятичной дроби нельзя.

Итак, со знаменателем разобрались - теперь рассмотрим весь алгоритм перехода к десятичным дробям:

1. Разложить знаменатель исходной дроби на множители и убедиться, что она вообще представима в виде десятичной. Т.е. проверить, чтобы в разложении присутствовали только множители 2 и 5. Иначе алгоритм не работает;
2. Сосчитать, сколько двоек и пятерок присутствует в разложении (других чисел там уже не будет, помните?). Подобрать такой дополнительный множитель, чтобы количество двоек и пятерок сравнялось.
3. Собственно, умножить числитель и знаменатель исходной дроби на этот множитель - получим искомое представление, т.е. в знаменателе будет стоять степень десятки.

Разумеется, дополнительный множитель тоже будет разлагаться только на двойки и пятерки. При этом, чтобы не усложнять себе жизнь, следует выбирать наименьший такой множитель из всех возможных.

И еще: если в исходной дроби присутствует целая часть, обязательно переведите эту дробь в неправильную - и только затем применяйте описанный алгоритм.

Задача. Перевести данные числовые дроби в десятичные:

Разложим на множители знаменатель первой дроби: 4 = 2 · 2 = 2 2 . Следовательно, дробь представима в виде десятичной. В разложении присутствуют две двойки и ни одной пятерки, поэтому дополнительный множитель равен 5 2 = 25. С ним количество двоек и пятерок сравняется. Имеем:

Теперь разберемся со второй дробью. Для этого заметим, что 24 = 3 · 8 = 3 · 2 3 - в разложении присутствует тройка, поэтому дробь не представима в виде десятичной.

Две последних дроби имеют знаменатели 5 (простое число) и 20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 соответственно - везде присутствуют только двойки и пятерки. При этом в первом случае «для полного счастья» не хватает множителя 2, а во втором - 5. Получаем:

Переход от десятичных дробей к обычным

Обратное преобразование - от десятичной формы записи к обычной - выполняется намного проще. Здесь нет ограничений и специальных проверок, поэтому перевести десятичную дробь в классическую «двухэтажную» можно всегда.

Алгоритм перевода следующий:

1. Зачеркните все нули, стоящие в десятичной дроби слева, а также десятичную точку. Это будет числитель искомой дроби. Главное - не переусердствуйте и не зачеркните внутренние нули, окруженные другими цифрами;
2. Подсчитайте, сколько знаков стоит в исходной десятичной дроби после запятой. Возьмите цифру 1 и припишите справа столько нулей, сколько знаков вы насчитали. Это будет знаменатель;
3. Собственно, запишите дробь, числитель и знаменатель которой мы только что нашли. По возможности, сократите. Если в исходной дроби присутствовала целая часть, сейчас мы получим неправильную дробь, что очень удобно для дальнейших вычислений.

Задача. Перевести десятичные дроби в обычные: 0,008; 3,107; 2,25; 7,2008.

Зачеркнем нули слева и запятые - получим следующие числа (это будут числители): 8; 3107; 225; 72008.

В первой и во второй дробях после запятой стоит по 3 знака, во второй - 2, а в третьей - целых 4 знака. Получим знаменатели: 1000; 1000; 100; 10000.

Наконец, объединим числители и знаменатели в обычные дроби:

Как видно из примеров, полученную дробь очень часто можно сократить. Еще раз отмечу, что любая десятичная дробь представима в виде обычной. Обратное преобразование можно выполнить не всегда.