1. Если переменная у пропорциональна переменной х, то эта зависимость выражается формулой где - коэффициент пропорциональности. График этой функции мы рассмотрели в § 2.

2. Если переменная у обратно пропорциональна переменной х, то эта зависимость выражается формулой где коэффициент обратной пропорциональности.

3. Область определения функции есть множество всех чисел, отличных от нуля, т. е.

4. Графиком обратной пропорциональности является кривая, состоящая из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. Такая кривая называется гиперболой (рис. 35). Если то ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях; если же , то во II и IV координатных четвертях.

5. Заметим, что гипербола не имеет общих точек с осями координат, а лишь сколь угодно близко к ним приближается (объясните почему).

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

Построить график функции:

Решение. 1) Для построения графика данной функции, часто встречающейся на практике, установим сначала некоторые ее свойства.

а) Функция определена при всех действительных При функция не определена (делить на нуль нельзя!). Таким образом, область определения функции состоит из двух промежутков:

б) Функция нечетная, так как Следовательно, ее график симметричен относительно начала координат. Поэтому достаточно рассмотреть данную функцию только для

в) При функция убывает. Действительно, пусть тогда

График функции построен на рисунке 35. Эта кривая называется гиперболой. Она состоит из двух ветвей, расположенных в I и III координатных четвертях.

Функцией Коэффициент k может принимать любые значения, кроме k = 0. Рассмотрим сначала случай, когда k = 1; таким образом, сначала речь пойдет о функции .

Чтобы построить график функции , поступим так же, как и в предыдущем параграфе: дадим независимой переменной х несколько конкретных значений и вычислим (по формулe ) соответствующие значения зависимой переменной у. Правда, на этот раз удобнее проводить вычисления и построения постепенно, сначала придавая аргументу только положительные значения, а затем - только отрицательные.

Первый этап. Если х = 1, то у = 1 (напомним, что мы пользуемся формулой );

Второй этап.

Короче говоря, мы составили следующую таблицу:

А теперь объединим два этапа в один, т. е. из двух рисунков 24 и 26 сделаем один (рис. 27). Это и есть график функции его называют гиперболой.
Попробуем по чертежу описать геометрические свойства гиперболы.

Во-первых , замечаем, что эта линия выглядит так же красиво, как парабола, поскольку обладает симметрией. Любая прямая, проходящая через начало координат О и расположенная в первом и третьем координатных углах, пересекает гиперболу в двух точках, которые лежат на этой прямой по разные стороны от точки О, но на равных расстояниях от нее (рис. 28). Это присуще, в частности, точкам (1; 1) и (- 1; - 1),

И т. д.Значит - О центр симметрии гиперболы. Говорят также, что гипербола симметрична относительно начала координат .

Во-вторых , видим, что гипербола состоит из двух симметричных относительно начала координат частей; их обычно называют ветвями гиперболы.

В-третьих, замечаем, что каждая ветвь гиперболы в одном направлении подходит все ближе и ближе к оси абсцисс, а в другом направлении - к оси ординат. В подобных случаях соответствующие прямые называют асимптотами.

Значит, график функции , т.е. гипербола, имеет две асимптоты: ось х и ось у.

Если внимательно проанализировать построенный график, то можно обнаружить еще одно геометрическое свойство, не такое очевидное, как три предыдущих (математики обычно говорят так: «более тонкое свойство»). У гиперболы имеется не только центр симметрии, но и оси симметрии.

В самом деле, построим прямую у = х (рис. 29). А теперь смотрите: точки расположены по разные стороны от проведенной прямой , но на равных расстояниях от нее. Они симметричны, относительно этой прямой. Тоже можно сказать о точках , где, конечно Значит, прямая y =x - ось симетрии гиперболы (равно как и y = -x)

Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции а) на отрезке ; б) на отрезке [- 8, - 1].
Решение, а) Построим график функции и выделим ту его часть, которая соответствует значениям переменной х из отрезка (рис. 30). Для выделенной части графика находим:

б) Построим график функции и выделим ту его часть, которая соответствует значениям переменной х из отрезка [- 8, - 1] (рис. 31). Для выделенной части графика находим:

Итак, мы рассмотрели функцию для случая, когда k= 1. Пусть теперь k - положительное число, отличное от 1, например k = 2.

Рассмотрим функцию и составим таблицу значений этой функции:

Построим точки (1; 2), (2; 1), (-1; -2), (-2; -1),

на координатной плоскости (рис. 32). Они намечают некоторую линию, состоящую из двух ветвей; проведем ее (рис. 33). Как и график функции , эту линию называют гиперболой.

Рассмотрим теперь случай, когда k < 0; пусть, например, k = - 1. Построим график функции (здесь k = - 1).

В предыдущем параграфе мы отметили, что график функции у = -f(x) симметричен графику функции у = f(x) относительно оси х. В частности, это значит, что график функции y = - f(x) симметричен графику функции у = f(x) относительно оси x. В частности, это значит, что график , симетричен графику односительно оси абсцисс (рис. 34) Таким образом, мы получим гиперболу, ветви которой расположены во втором и четвертом координатных углах.

Вообще, графиком функции является гипербола, ветви которой расположены в первом и третьем координатных углах, если k > 0 (рис. 33), и во втором и четвертом координатных углах, если k < О (рис. 34). Точка (0; 0) - центр симметрии гиперболы, оси координат - асимптоты гиперболы.

Обычно говорят, что две величины х и у обратно пропорциональны, если они связаны соотношением ху = k (где k - число, отличное от 0), или, что то же самое, . По этой причине функцию называют иногда обратной пропорциональностью (по аналогии с функцией у - kx, которую, как вы, наверное,
помните, называют прямой пропорциональностью); число k - коэффициент обратной пропорциональности .

Свойства функции при k > 0

Описывая свойства этой функции, мы будем опираться на ее геометрическую модель- гиперболу (см., рис. 33).

2. у > 0 при х>0;у<0 при х<0.

3. Функция убывает на промежутках (-°°, 0) и (0, +°°).

5. Ни наименьшего, ни наибольшего значений у функции

Свойства функции при k < 0
Описывая свойства этой функции, мы будем опираться на ее геометрическую модель - гиперболу (см. рис. 34).

1. Область определения функции состоит из всех чисел, кроме х = 0.

2. у > 0 при х < 0; у < 0 при х > 0.

3. Функция возрастает на промежутках (-оо, 0) и (0, +оо).

4. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

5. Ни наименьшего, ни наибольшего значений у функции нет.

6. Функция непрерывна на промежутках (-оо, 0) и (0, +оо) и претерпевает разрыв при х = 0.

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока:

Образовательные

: сформулировать определение обратной пропорциональности, ее области определения; научить строить график функции y= k/x опираясь на свойства функции; сформировать чёткое представление о различиях свойств и расположения графика функции при различных значениях k; научить находить значение функции и аргумента по формуле У= k/x.

Развивающие : совершенствовать умения логически мыслить и выражать свои мысли вслух; стимулировать познавательную деятельность учащихся постановкой проблемного задания, оценкой и поощрением; способствовать развитию находчивости, сообразительности.

Воспитательные

: воспитывать у учащихся стремление к совершенствованию своих знаний; воспитывать интерес к предмету.

Оборудование:

• проектор, компьютер; раздаточный материал для устного счета.
• Презентация к уроку.

ХОД УРОКА

План урока.

1. Вступительное слово учителя.
2. Повторение ранее изученного материала.
3. Изучение нового материала.
4. Историческая справка.
5. Исследование функции. Свойства графиков (работа в парах).
6. Обсуждение графиков (фронтальная работа).
7. Самостоятельная работа на построение графиков функции.
8. Закрепление изученного материала.

I. Актуализация опорных знаний.

Приветствие учителя.

(На столах учеников лежат картинки. Учитель просит показать своё настроение в начале урока)

Учитель: На уроках мы с Вами говорили о том, что весь реальный мир состоит из множества тел. Эти тела в любой момент времени взаимодействуют друг с другом на различных уровнях: химическом, физическом, информационном и т.д. (демонстрируется слайд5) Например, на уроках физики Вы изучаете “зависимость силы тока от сопротивления”, “зависимость давления газа от объема”; из жизни мы знаем о “ зависимости радиуса колеса и число совершаемых им оборотов на определенном отрезке пути” и с этой зависимостью мы встречаемся на уроках математики и т.д. Умение анализировать эти взаимодействия или зависимости сделает Вас успешными в своей деятельности!

Вы знаете, что эти величины пропорциональны

Пропорциональность - такая зависимость между величинами, при которой увеличение одной из них влечет за собой изменение во столько же раз другой величины.

Зависимость одной переменной от другой называется функцией. До сих пор Вы изучили функции y = kx + b; y = , y = x 2 . Сегодня мы продолжим изучение функций. Запишите тему урока (демонстрируется слайд 2).

2. Повторение изученного материала.

1. Как называются функции, задаваемые формулами:

а) у=2х+3; б) у = -1/2х+4; в) у=2х; г) у =-3х; д) у = х?

2. Что представляет собой их график? Как он расположен? Укажите область определения и область значения каждой из этих функций.

3. На рисунке изображен график функции у = f(x) на отрезке [- 3; 2].

• Укажите наибольшее значение функции.
• Укажите промежуток, в котором функция возрастает.
• Найдите промежуток, в котором функция принимает отрицательные значения.

3. Изучение нового материала.

Учитель: Итак, сегодня мы изучаем функцию у =k/x .

Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задавать формулой вида у=k/x.

где у – зависимая переменная,

х – независимая переменная,

k – не равное нулю число.

Областью определения функции является множество всех чисел, отличных от нуля.

Областью значений функции является множество всех чисел, отличных от нуля.

Вопрос: Как вы считаете, глядя на аналитическую запись функции, можно сказать о том, какие значения х допустимы? (Да, х0 )

Так как выражение у =k/x имеет смысл при всех х не равных 0.

Решение задач на обратную зависимость.

1. Как связаны между собой х и у?
2. Как записать каждую зависимость в виде функции?
3. Что общего и в чем различие этих формул?
4. Составить функцию, которая является обобщением рассмотренных зависимостей. (Учащиеся с помощью учителя составляют формулу)

Учитель: В явлениях природы, в человеческой деятельности часто встречаются обратно пропорциональные зависимости между двумя величинами.

Как графиком можно представить эту зависимость?

График обратно пропорциональной функции называется гипербола .

4. Историческая справка (демонстрируется слайд 10).

5. Исследование функции на примере зависимости у=12/х.

(Cоставление памятки построения графика функции)

Построение графика функции (все учащиеся строят в своих тетрадях, один на доске).

• определите область определения функции;
• определите область значения функции;
• определите промежутки убывания (возрастания) функции;
• определите наибольшее (наименьшее) значение функции;
• определите точку разрыва функции

Схема исследования функций.

1) Область определения функции (множество значений переменной х, при которой функция существует) или (проекция функции на ось ОХ).

2) Значения переменной х , при которой у > 0; у < 0.

3) Промежутки возрастания и убывания функции.

4) у наименьшее (при каких х функция принимает наименьшее значение).

у наибольшее (при каких х функция принимает наибольшее значение).

5) Прерывная или непрерывная функция.

6) Область значения функции (множество значений у, при которых функция существует) или (проекция функции на ось ОУ).

Учитель: Проведем анализ графика (демонстрируется слайд 14).

Графиком функции является гипербола.

Гипербола состоит из двух веток.

Вопрос: Скажите, вы встречали где-нибудь это слово раньше? (Да, в русском языке: гипербола – слово или выражение, заключающее в себе преувеличение для создания художественного образа, например “…я сказал тебе сто раз…” (демонстрируются слайды 18,19, 20).

Посмотрите на график и скажите, пересекает ли он прямую ОХ? (Нет) ОУ? (Нет) . Эти прямые называются асимптоты графика.

Посмотрите на график и скажите, имеет ли гипербола центр симметрии? (Точка (0;0)) Ось симметрии? (Прямые у = х; у = - х)

Учитель: Исследовательская работа в парах.

Задание. Построить график функции и описать свойства.

(Учащиеся выполняют задания в парах, после выполнения самопроверка (слайд 13)).

Учитель: Что произошло с графиком функции, при изменении коэффициента?

Учитель: Вернёмся к графикам, которые вы получили.

На какие две группы можно разделить эти графики, чем отличаются эти группы? (Эти группы располагаются в разных четвертях)

От чего зависит расположение графиков? (Расположение графика зависит от знака коэффициента обратной пропорциональности)

Первичное закрепление: самостоятельная работа обучающего характера(демонстрируется слайд 15).

Проверка по окончанию урока.

Итог урока.

• Что является графиком функции у = к/х?

• В каких координатных четвертях расположен график функции?

• Какова область определения функции?
• Какими свойствами обладает график функции обратной пропорциональной зависимости?
• Как называется график обратно пропорциональной функции?
• Из чего состоит гипербола?

(Устно). Слайд 18.

Перечислите свойства функции.

Задание на дом.

• Изучить п.8.
• Решить №172, №179, №183.
• Подготовить сообщения на тему “Применение функции в различных областях науки и в литературе”.

Рефлексия.

• Покажите свое настроение с помощью картинок на вашем столе.
• Сегодня урок мне.
• Мне понравилось.
• Мне не понравилось.
• Материал урока я (понял, не понял).
• Мне хотелось бы.

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Функция y=k/x , её свойства и график. Учитель математики МКОУ «Хохольский лицей» Логвинова Ирина Алексеевна

Образовательные: сформулировать определение обратной пропорциональности, ее области определения; научить строить график функции y = k / x опираясь на свойства функции; сформировать чёткое представление о различиях свойств и расположения графика функции при различных значениях k ; научить находить значение функции и аргумента по формуле У= k/x . Развивающие: совершенствовать умения логически мыслить и выражать свои мысли вслух; стимулировать познавательную деятельность учащихся постановкой проблемного задания, оценкой и поощрением; способствовать развитию находчивости, сообразительности. Воспитательные: воспитывать у учащихся стремление к совершенствованию своих знаний; воспитывать интерес к предмету. 2 Цели урока

07.10.2014 3 Виды Функций Зависимость одной переменной от другой, называется функцией y = kx y=x 3 y=x 2 y = kx+b

07.10.2014 4 Скорость велосипедиста V км / ч; t ч – время. Сколько времени потребуется велосипедисту, чтобы проехать 20 км? Выразить зависимость t от V .

07.10.2014 5 Площадь прямоугольника 35 кв. см. Одна сторона прямоугольника а см, другая в см. Выразить зависимость в от а.

07.10.2014 6 Р руб. цена товара, m количество товара. Сколько товара можно купить на 90 руб? Выразить зависимость m от Р.

07.10.2014 7 Что общего и в чем различие этих формул? Составить функцию, которая является обобщением рассмотренных зависимостей.

Определение Обратной пропорциональностью называется функция, заданная формулой y = k/x, где k ≠ 0 , где х – независимая переменная. Число k называется коэффициентом обратной пропорциональности

В явлениях природы, в человеческой деятельности часто встречаются обратно пропорциональные зависимости между двумя величинами. Как графиком можно представить эту зависимость? График обратно пропорциональной функции называется ГИПЕРБОЛА

График функции 12 х _ у = х у -1 -2 -4 -3 -6 -8 -12 -12 -6 -4 -3 -2 -1,5 -1 х у 1 2 3 4 6 8 12 12 6 4 3 2 1,5 1 Построим по точкам график функции

гипербола

1 вариант 2 вариант Г рафик функции у = к/ х и её свойства у = к/х,к˂0 у = к/х,к˃0 1. Область определения функции 2. Область значений функции 3. у >0 , у

14 Термин «функция» в 1664г. ввёл немецкий учёный Лейбниц. Определение функции дал его ученик Бернулли в 1718 году Одним из первых, кто начал изучать эту кривую был ученик знаменитого Платона, древнегреческий математик Менехм в IV в. до н.э., но так и не сумел её полностью изучить. А вот полностью исследовал свойства гиперболы и дал ей название крупнейший геометр древности Аполоний Пергский в III в. до н.э.

Тестовые задания по теме “ Обратная пропорциональность ” 1) Какая из формул задаёт обратную пропорциональность 3) 4) 5) 1) 2)

2) Какая из указанных точек принадлежит графику функции y = -8/x ? 1) A(1;8) 2) B(-1;-8) 3) С(1 ; -8) Тестовые задания по теме “ Обратная пропорциональность ”

1. На одном из рисунков изображена гипербола. Укажите этот рисунок. 1 3 4 2

Что является графиком функции В каких координатных четвертях расположен график функции? Какова область определения функции Какими свойствами обладает график функции обратной пропорциональной зависимости? Как называется график обратно пропорциональной функции? Из чего состоит гипербола? 18 Итог урока

Интересные факты 19 Из словаря русского языка Ожегова слово гипербола обозначает в поэтике - приём чрезмерного преувеличения с целью усиления впечатления». В Большой Российской энциклопедии (т.7) – неправдоподобное преувеличение тех или иных свойств изображения предмета или явления». Например: «…редкая птица долетит до середины Днепра» Н.В. Гоголь. Часто гипербола встречается в частушках: Сидит лодырь у ворот Широко разинув рот, И никто не разберёт, Где ворота, а где рот.