Ближненская ОШ I – III ступеней

Волновахского отдела образования

Волновахской РДА

Урок алгебры

9 класс

Ближненская ОШ I – III ступеней

«Квадратичная функция, ее график и свойства»

учитель математики

Михайлова Ирина Анатольевна

с. Ближнее

2015 год

Урок-презентация по теме "Квадратичная функция и ее свойства"

Эпиграф к уроку: «Предмет математика настолько

серьезен, что полезно не

упустить случая сделать его

немного занимательнее».

Блез Паскаль

Эпиграф к нашему сегодняшнему уроку поощряет нас не останавливаться на достигнутом, а двигаться дальше. Расширяя горизонты своих знаний. Мы начнем наш урок с небольшого видеоряда. Как вы думаете, что объединяет все эти рисунки? Правильно, на каждом из них мы видим форму, напоминающую нам параболу. Сегодня мы продолжим разговор об этой удивительной линии, обобщим уже имеющиеся знания по теме урока, откроем для себя много нового и интересного.

Девиз урока: “Математику нельзя изучать,

наблюдая, как это делает сосед!”

Нивен А.

Цель урока : выработать умение строить и исследовать графики квадратичной функции

у = ах 2 + вх + с , выполнять преобразования графика квадратичной функции.

Образовательные задачи урока :

способствовать развитию у учащихся навыков чтения и построения графиков функций;

формировать навык простейших преобразований графиков функций;

формировать умения и навыки исследовать графики функций;

формировать умения анализировать, выделять главное, сравнивать, обобщать.

Развивающие задачи урока:

развивать творческую сторону мыслительной деятельности учащихся,

развивать умение обобщать, классифицировать, проводить анализ и делать выводы;

развивать коммуникативную компетенцию учащихся;

создать условия для проявления познавательной активности учащихся;

показать взаимосвязь математики с окружающей действительностью

Воспитательные задачи урока:

воспитывать культуру умственного труда;

воспитывать культуру коллективной работы;

воспитывать информационную культуру;

воспитывать графическую и функциональную культуру учащихся.

Тип урока: Комбинированный.

Формы роботы: фронтальная, работа в парах, самостоятельная работа, устный счет

с использование взаимоконтроля, самоконтроль, использование

опережающих заданий.

Ход урока.

I. Организационный этап.

Учащимся сообщается тема урока, цели урока, формы работы на уроке.

Сегодня вам самим предстоит подвести итог изучению и получению новых знаний. Прежде, чем мы это сделаем, давайте проверим себя, готовы ли мы совершить его, всё ли было усвоено на уроках, имеются ли слабые места. Для этого проверим, как мы справились с домашним творческим заданием..

II Проверка домашнего задания.

III . Актуализация знаний.

Повторение теоретического материала (фронтальная работа с классом).

Все вопросы и задания высвечиваются на слайдах.

1.Какая функция называется квадратичной?

(функция вида у = ах² + вх + с, где а, в, с - коэффициенты, х – переменная)

2. Из приведенных примеров укажите те функции, которые являются квадратичными. (слайд 1)

у=-2х 2 +х+3;

3. Что является графиком квадратичной функции? (парабола) (слайд 2)

4. От чего зависит направление ветвей параболы? (от коэффициента а, если а>0, то ветви параболы направлены вверх, если а<0, ветви параболы - вниз)

5. Определите знак коэффициента a у парабол, изображенных на рисунке (слайд 3)

6. Как найти координаты вершины параболы? (слайд 4)

(два способа нахождения координат вершины параболы:

- с помощью формулы координат вершины параболы – х 0 = - , у 0 =
,

- с помощью выделения квадрата двучлена.

7. Найдите координаты вершины параболы: (слайд 5)

а) у = х 2 -4х-5 (выделим квадрат двучлена: у = (х² - 2*2*х + 4) -9 = (х – 2)² -9, А(2;-9)

б) у=-5х 2 +3 (найдем координаты вершины параболы по формуле х 0 = - = 0/10 =0,

у 0 =
или найдем значение функции в т. х = 0, у(0) =3, В(0;3)

8. Расскажите алгоритм построения графика квадратичной функции. (слайд 6)

(Алгоритм построения графика квадратичной функции:

- определить направление ветвей параболы;

- найти координаты вершины параболы по формулам: х 0 = - , у 0 =
,

- отметить эту точку на координатной плоскости;

- через вершину параболы начертить ось симметрии параболы х= х 0 ;

- найти нули функции и отметить их на числовой прямой;

- найти координты двух дополнительных точек и симметричных им;

- провести кривую параболы.

9. Постройте график функции у = 2х² + 4х -6 и опишите его свойства. (слайд 7)

Параболу
Строим и чертим
Красивой, плавной, аккуратной
Получился у нас график
всем понятный

10.Ребята мы с вами вспомнили что же такое квадратичная функция и её свойства, но давайте ещё вспомним как расположена парабола в зависимости от коэффициента а параболы и дискриминанта Д квадратного уравнения. (слайд 8)

(если а >0 и Д >

если а >0 и Д

если а >0 и Д< 0, то парабола расположена выше оси ОХ и не пересекает ее,

если а <0 и Д >0, то парабола пересекает ось ОХ в двух точках,

если а< 0 и Д = 0, то парабола касается оси ОХ,

если а <0 и Д< 0, то парабола расположена ниже оси ОХ и не пересекает ее )

11. Учащимся предлагается выполнить самостоятельно тест (слайд 9).

Для каждой из функций, графики которых изображены, выберите соответствующее условие и отметьте знаком «+».

D>0;a>0

D>0;a<0

D<0;a>0

D<0;a<0

D=0;a>0

D=0;a<0

После того, как учащиеся закончили решение теста, выполняем самопроверку: учащиеся по очереди комментируют свои ответы, на экране с помощью анимации появляются правильные ответы. После проверки учащиеся оценивают свою работу.

IV .Физкультминутка.

Ребята, сейчас проверим как вы, зная преобразования графика функции, можете показать их с помощью физических упражнений.

Напомним: параллельный перенос вдоль оси ОХ – прыжки вправо или влево;

параллельный перенос вдоль оси ОУ – прыжки вверх или приседание;

коэффициент а >0 – движение рук вдоль туловища – прижимание,

а <0 – движение рук вдоль туловища – растяжение.

И так, начинаем изобразите схематически график функции у = х 2 ; у = 3х 2 ; у = 1/5 х 2 ;

у = (х+2) 2; у = (х-1) 2; у = (х+2) 2 - 3; у = (х-2) 2 + 1; у = 2(х+3) 2 .

Спасибо, молодцы. Заряд бодрости получили и присели на свои места.

Продолжаем наш урок. А сейчас проверим, как вы сами справитесь с квадратичной функцией, кто из вас сильнее и умнее. Если с заданиями справляетесь, значит, вы умнее и сильнее, если нет – то нужно еще потренироваться. Желаю вас успехов в математическом соревновании.

V Самостоятельная работа.

А.Работа с графиком функции ( индивидуальная) .(рис распечатать)

a и дискриминанта D

х , при которых данная

функция принимает:

а) значения, равные нулю;

б) при каких значениях х функция принимает

положительные

1.Определите знаки коэффициента a и дискриминанта D

2. Назовите координаты вершины параболы.

3. Назовите область значений функции.

4. Назовите значения переменной х , при которых данная функция

б) меньше нуля;

1. Определите знаки коэффициента a и дискриминанта D

2. Назовите координаты вершины параболы.

3. Назовите область значений функции.

4. Назовите значения переменной х , при которых данная функция

принимает а) значения, равные нулю;

б) при каких значениях х функция монотонно

возрастает.

2. Назовите координаты вершины параболы.

3. Назовите область значений функции.

4. Назовите значения переменной х , при которых данная функция

принимает: а) значения, равные нулю;

б) больше нуля, меньше нуля;

в) при каких значениях х функция монотонно

Б. Работа с формулами координат вершины параболы, расчетные упражнения

(работа в парах с взаимопроверкой) распечатать варианты-5 шт

Вариант 1. Найти координаты вершины параболы:

у = х 2 -4х-5;

3. При каких значениях х функция а) принимает отрицательные значения;

Вариант 2. 1. Найти координаты вершины параболы:

2. Найдите область значений функции.

3. При каких значениях х функция монотонно возрастает;

Вариант 3. 1. Найти координаты вершины параболы:

У = 5х 2 -3х-2.

2. Найдите координаты точек пересечения с осями координат

3. При каких значениях х функция монотонно убывает;

В. Групповая работа. (Каждая группа получает задание, решение которого оформляют на листах

ватмана маркером, и готовые решения вывешиваются на доске. После

чего происходит защита каждой группы своего решения -2 минута на

каждую группу)

Карточка 1. Постройте график функции у = х 2 – 6х +10 используя формулы координат

вершины параболы. Опишите свойства графика квадратичной функции.

Карточка 2. Постройте график функции у = х 2 – 6х -7 используя метод выделения квадрата

двучлена. Опишите свойства графика квадратичной функции.

Г. Работа с тестами. Тест с выбором нескольких ответов (индивидуальная)

Функция f (x) = 2 x 2 + 5

монотонно возрастает

монотонно убывает при х

всюду положительна

всюду неотрицательна

функция второй степени

многочлен

из баллов

Функция f (x) = - 2 (x - 1) 2 + 2

значение функции равно 0 при x = 1

значение функции равно 0 при x = 0; 2

положительна для всех x

отрицательна для всех положительных x

функция второй степени

функция третьей степени

из баллов

Функция f на графике, показанном здесь

убывает монотонно на интервале [-3, 1]

убывает монотонно на интервале [-3, -1]

возрастает монотонно на интервале [-1, 2]

отрицательна на открытом интервале (-3, 1)

отрицательна на закрытом интервале [-3, 1]

удовлетворяет условию f (2) < f (0)

удовлетворяет условию f (2) > f (0)

Д. Коллективно - индивидуальная работа

Установите соответствие между уравнением функции и ее графиком.

Из букв, оставшихся «лишними», составьте вспомогательное слово .

1 . у = – х 2 – 2 4 . у = (х + 3) 2 7 . у = – (х + 2) 2

2 . у = (х – 3) 2 5 . у = – (х – 1) 2 + 4 8 . у = 4 – (х – 1) 2

3 . у = (х + 4) 2 – 1 6 . у = – х 2 + 3 9 . у = х 2 + 2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Слово: гол

А

И

Р

Г

Л

С

Д

Н

Т

Е

О

У

VI Подведение итогов урока.

VII Домашнее задание

VIII Рефлексия Мы стали друзьями, мы стали умнее,

Богаче на целый волшебный урок!

Нас знания делают выше, сильнее,

А дружба крепче и добрей.

Ты согласен, дружок?

На уроке я работал активно / пассивно

Своей работой на уроке я доволен / не доволен

Урок для меня показался коротким / длинным

За урок я не устал / устал

Моё настроение стало лучше / стало хуже

Материал урока мне был понятен / не понятен

полезен / бесполезен

интересен / скучен

7.Домашнее задание мне кажется лёгким / трудным

интересно / не интересно

«Дерево удовлетворённости»

По окончании урока дети прикрепляют на дереве листья, цветы, плоды:

Плоды – урок прошёл полезно, плодотворно;

Цветок – урок прошёл довольно неплохо;

Зелёный листок – не совсем удовлетворён уроком;

Жёлтый листок – урок не понравился, скучно.

По окончанию урока учитель предлагает ученикам взять стик в форме листика дерева и, если учащийся уходит с урока в хорошем настроении, приклеить его на заранее подготовленный (нарисованный) ствол дерева. В результате получилось цветущее зеленое дерево.

Источники информации:

2.

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Квадратичная функция и ее свойства.

Квадратичная функция. Определение. Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y = ax 2 + bx + c, где x – независимая переменная, a, b и c – некоторые числа, причем a  0. Вершины вычисляются по формулам: x 0 =-b/2a y 0 = ax 0 2 + bx 0 + c

Графиком квадратичной функции является парабола, ветви которой направлены вверх (если а >0) или вниз (если а 0). у= -7 х ² -х+3 – графиком является парабола, ветви которой направлены вниз (т.к. а=-7 , а

Применение В физике, в разделе «Механика», движения многих тел имеют параболический характер при движении вверх, под углом к горизонту и т.д. Движение под углом к горизонту

В военном деле, при расчете траектории полета снарядов, бомб, ракет и т.д. Траектория полета снарядов

В астрономии при создании телескопов, радиолокаторов, зеркало телескопа имеет параболическую форму, с помощью которой можно сфокусировать лучи в одну точку. Легенда гласит, что Архимед построил параболическое зеркало и сжег римские корабли.

Параболические антенны используют на аэродромах.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Квадратичная функция

Квадратичная функция Интегрированный урок математика -информатика в 9 классе Учитель: Старкова Н.В. Попова М.А.ноябрь2010-2011 уч. год Цели: закрепить умение строить графики квадратично...

Урок контроля и коррекции знаний.Основная дидактическая цель: выявление уровня овладения учащимися комплексом знаний и умений....

Квадратичная функция. Функция. Свойства функций. Область определения и область значений функции. Четные и нечетные функции.

Квадратичная функция. Функция. Свойства функций. Область определения и область значений функции. Четные и нечетные функции....

Учебное занятие внеаудиторной деятельности в 9 классе "Функции и их графики. Квадратичная функция"

Использование технологии уровневой дифференциации для подготовки учащихся к ГИА по математике.Дидактическая цель: Систематизация, обобщение и закрепление знаний учащихся по теме “Функции и их гр...

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Построение графика квадратичной функции.

y= ax 2 +bx + c - квадратичная функция, где a, b, c - числа (а ≠ 0).

1 2 0 3 -3 -2 -1 -1 1 2 3 x y 4 Свойства квадратичной функции при а>0; а

1 2 0 3 -3 -2 -1 -1 1 2 3 x y 4 а

Задание 1: На координатной плоскости постройте графики функций: х у 1 2 -1 -1 2 1 -2 -3

x y 1 2 3 1 2 -3 -2 -1 -1 -2 -3 0 Определение наибольшего и наименьшего значения функции.

2 0 3 -3 -2 -1 -1 1 2 3 x y 1 ? Задание 2: Какой график соответствует функции:

Правила построения параболы: Найти координаты вершины параболы: (2;-1). Провести ось симметрии: х=2. Найти нули функции при у=0: (1;0) и (3;0) Найти дополнительные точки: при х=0, у=3; при х=4, у=3. Соединить полученные точки. х у 1 2 -1 -1 1 2 3 0 3

Задание 2: На координатной плоскости постройте график функции: Координаты вершины параболы: (1;-4). Провести ось симметрии: х=1. Найти нули функции при у=0: (3;0) и (-1;0) Найти дополнительные точки: при х=0, у=-3; при х=4, у=5. Соединить полученные точки. х у 1 -1 0 2 -4 -3 -2 -1 1 4 4

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Методика построения графика квадратичной функции и использование графика для решения неравенств. (развивающее обучение)

Каждому учителю необходимо помнить о следующих структурных элементах урока:· Постановка цели и мотивация учебной деятельности учащихся.·...

Разработка учебного занятия по теме:" Применение производной к исследованию функций и построеннию графиков. Схема исследования функции". Урок является логическим продолжением изучаемого материала. Р...

В данной презентации рассматриваются квадратичная функция, её свойства и график. Приводится пример построения графика квадратичной функции - параболы. Дается задание для самостотельной работы в двух вариантах. Презентацию можно использовать на уроках алгебры при изучении темы и при подготовке к ОГЭ по математике

Просмотр содержимого документа
«Презентация "Квадратичная функция и её график"»

• График функции

y = ax 2 .

• График функции

y = ax 2 + bx + c .

• Лабораторно-графическая работа

0 x ≤ 0 x ≥ 0 0 х y = ax 2 , a " width="640"

y = ax 2 , a0

y = ax 2 , a

Задача: Построить график функции y = x 2 – 2x + 3 и сравнить с графиком функции y = x 2

Построение.

• Графиком функции y = x 2 – 2x + 3 является парабола, ветви которой направлены вверх.
• Составим таблицу значений функции y = x 2 – 2x + 3

• Построим график функции y = x 2 – 2x + 3
• Сравним графики y = x 2 – 2x + 3 и y = x 2

y = x 2 – 2x + 3 = x 2 – 2x + 1+ 2 = (x – 1) 2 + 2

Вывод: Графиком функции y = x 2 – 2x + 3 является парабола, получаемая сдвигом параболы y = x 2 на единицу вправо и на две единицы вверх .

y = x 2 – 2x + 3

0 Графиком функции y = ax 2 +bx+c является парабола, получаемая сдвигом параболы y = ax 2 вдоль координатных осей. 0 х Вершины параболы y = ax 2 +bx+c y = ax 2 +bx+c, a " width="640"

Ось симметрии

y = ax 2 +bx+c, a0

Графиком функции

y = ax 2 +bx+c является парабола, получаемая сдвигом параболы y = ax 2 вдоль координатных осей.

Вершины параболы

y = ax 2 +bx+c

y = ax 2 +bx+c, a

Задания

Дана функция y = ax 2 +bx + c.

• Найдите координаты точек пересечения графика функции с осями координат.
• Постройте график данной функции.
• С помощью графика найдите:

• множество значений х, на котором функция:

1) возрастает,

2) убывает,

3) принимает положительные значения,

4) принимает отрицательные значения;

б) значения переменной х, при которых функция принимает наибольшее и наименьшее значение.

• Проходит ли график данной функции через точки A(m; n), B(-m; n), C(-m; -n), D(m; -n).

Вариант 1.

Вариант 2.

y = -x 2 + 6x – 5;

m = 2; n = 3

y = 0,5x 2 + 3x – 0,5;

Учебно-воспитательные задачи: Образовательные: Приобретение знаний по применению графического изображения квадратичной функции. Приобретение знаний по применению графического изображения квадратичной функции. Применение приемов решения задач. Применение приемов решения задач.Развивающие: Совершенствование умения строить параболу. Совершенствование умения строить параболу. Применение свойств квадратичной функции в других и их взаимосвязь с математикой. Применение свойств квадратичной функции в других и их взаимосвязь с математикой.Воспитательные: Пробудить интерес к истории математики. Пробудить интерес к истории математики. Способствовать расширению кругозора через информационный материал, диалоги и совместные размышления. Способствовать расширению кругозора через информационный материал, диалоги и совместные размышления.

Оборудование: Геометрический инструмент. Геометрический инструмент. Компьютер Компьютер Компьютерная презентация. Компьютерная презентация. Исторический материал. Исторический материал.Метод: Словесный. Словесный. Практический. Практический. Групповая работа. Групповая работа. Защита проектов. Защита проектов. Тип урока: заключительный по теме: Квадратичная функция с использованием активных методов.

Ход урока 1. Организационный момент. 2. Вести с урока. 1) повторить определение квадратичной функции, ее свойства и график. (Фронтальная работа). 2) понятие параболы. (Ученик объясняет, используя компьютерную презентацию) 3) различие параболы: по направлению ветвей, по координатам вершин, по коэффициенту а, 4) Применение параболы в физике, технике, архитектуре, вокруг нас.

Определение. Функция вида у = ах 2 +bх+с, где а, b, c – заданные числа, а0, х – действительная переменная, называется квадратичной функцией. Примеры: 1) у=5х+1 4) у=x 3 +7x-1 2) у=3х) у=4х 2 3) у=-2х 2 +х+3 6) у=-3х 2 +2х

Свойства Парабола кривая второго порядка. Парабола кривая второго порядка. Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и перпендикулярна директрисе. Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и перпендикулярна директрисе. Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе. Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе. Парабола является антиподерой прямой. Парабола является антиподерой прямой. Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб. Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб. При вращении параболы вокруг оси симметрии получается эллиптический параболоид. При вращении параболы вокруг оси симметрии получается эллиптический параболоид.

Определить координаты вершины параболы. Определить координаты вершины параболы. Уравнение оси симметрии параболы. Уравнение оси симметрии параболы. Нули функции. Нули функции. Промежутки, в которых функция возрастает, убывает. Промежутки, в которых функция возрастает, убывает. Промежутки, в которых функция принимает положительные значения, отрицательные значения. Промежутки, в которых функция принимает положительные значения, отрицательные значения. Каков знак коэффициента a ? Каков знак коэффициента a ? Как зависит положение ветвей параболы от коэффициента a ? Как зависит положение ветвей параболы от коэффициента a ?

Координаты точек пересечения параболы с осями координат. С Ох: у=0 ах 2 +bх+с=0 С Ох: у=0 ах 2 +bх+с=0 С Оу: х=0 у=с С Оу: х=0 у=с Задание. Найти координаты точек пересечения параболы с осями координат: 1)у=х 2 -х; 2)у=х 2 +3; 3)у=5х 2 -3х-2 (0;0);(1;0) (0;3) (1;0);(-0,4;0);(0;2)

Тест Для каждой из функций, графики которых изображены, выберите соответствующее условие и отметьте знаком «+». D>0;a>0 D>0;a0;a0;a 0;a>0 D>0;a0;a0;a"> 0;a>0 D>0;a0;a0;a"> 0;a>0 D>0;a0;a0;a" title="Тест Для каждой из функций, графики которых изображены, выберите соответствующее условие и отметьте знаком «+». D>0;a>0 D>0;a0;a0;a"> title="Тест Для каждой из функций, графики которых изображены, выберите соответствующее условие и отметьте знаком «+». D>0;a>0 D>0;a0;a0;a">

Построить график функции и по графику выяснить ее свойства. У = -х 2 -6х-8 Свойства функции: у>0 на промежутке у 0 на промежутке у"> 0 на промежутке у"> 0 на промежутке у" title="Построить график функции и по графику выяснить ее свойства. У = -х 2 -6х-8 Свойства функции: у>0 на промежутке у"> title="Построить график функции и по графику выяснить ее свойства. У = -х 2 -6х-8 Свойства функции: у>0 на промежутке у">