Конспект урока по алгебре в 10 классе

Васильева Екатерина Сергеевна ,

учитель математики

ОГБОУ «Смоленская специальная (коррекционная)

общеобразовательная школа I и II видов»

Смоленск

Тема урока: «Преобразование графиков тригонометрических функций».

Название модуля : преобразование графиков тригонометрических функций.Интегрирующая дидактическая цель : отработать навыки построения графиков тригонометрических функций.Целевой план действий для учащихся:

повторить основные свойства тригонометрических функций; отработать навык преобразования графиков тригонометрических функций; способствовать развитию логического мышления; воспитывать интерес к изучению предмета.

Банк информации.

Входной контроль. Назовите свойства функций y = sin x (рис. 1).

Рис . 1

Свойства:

D(y)=R E(y)=[-1;1], функция ограничена sin(-x)=-sinx, функция нечётная Наименьший положительный период: 2π
sin (x+2πn)= sin x, n Є Z, x Є R. sin x=0 при x=πk, kЄ Z sin x>0, x Є (2πk;2π+2πk), k Є Z sin x Наибольшее значение, равное 1, y=sin x принимает в точках x=π/2+ 2πk, k Є Z. Наименьшее значение, равное -1, y=sin x принимает в точках x=3π/2+ 2πk, k Є Z.

Рассмотрим график фукции y= cos x (рис. 2).

Рис . 2

Свойства:

D (y)=R E (y)=[-1;1], функция ограничена cos(-x)= cos x, функция чётная Наименьший положительный период: 2π
cos (x+2πn)=cos x, n Є Z, x Є R cos x=0 при x=π/2+πk, kЄZ cos x>0, x Є (-π/2+2πk; π/2+2πk), k Є Z cos x Наибольшее значение, равное 1, y=cos x принимает в точках x= 2πk, k Є Z. Наименьшее значение, равное -1, y=cos x принимает в точках x=π+ 2πk, k Є Z.

Cледующий график функции y=tg x (рис. 3)

Риc . 3

Свойства:

D(y)-множество всех действительных чисел, кроме чисел вида x=π/2 +πk, k Є Z E(y)=(-∞;+ ∞), функция неограниченная tg(-x)=-tg x, функция нечётная наименьший положительный период: π
tg(x+π)= tg x tgx= 0 при x=πk, k Є Z tg x> 0, x Є (πk; π/2+πk), k Є Z tg x

Следующий график функции y=ctg x (рис. 4)

Рис . 4

Свойства:

D(y)-множество всех действительных чисел, кроме чисел вида x=πk, k Є Z E(y)= (-∞;+ ∞), функция неограниченная ctg(-x)=-ctg x, функция нечётная Наименьший положительный период: π
ctg(x+π)=tg x ctg x = 0 при x=π/2+πk, k Є Z ctg x>0, x Є(πk; π/2+πk), k Є Z ctg x

Объяснение материала.

y = f (x )+ a , где a - постоянное число, надо перенести график y = f (x ) вдоль оси ординат. Если a>0, то график переносим параллельно самому себе вверх, если a Для построения графика функции y = kf (x ) надо растянуть график функции y = f (x ) в k раз вдоль оси ординат. Если | k |>1 , то происходит растяжение графика вдоль оси OY , если 0k | , то – сжатие. График функции y = f (x + b ) получается из графика y = f (x ) путем параллельного переноса вдоль оси абсцисс. Если b>0 , то график перемещается влево, если b

Для построения графика функции y = f (kx ) надо растянуть график y = f (x ) вдоль оси абсцисс. Если | k |>1 , то происходит сжатие графика вдоль оси OХ , если 0

Закрепление материала.

Уровень А

Частная дидактическая цель : отработать навык построения тригонометрических функций путем преобразований.

Методический комментарий для учащихся :

Ox в 3 раза.





График функции получается из графика путем растяжения вдоль оси Oy в 2 раза.





График функции получается из графика путем параллельного переноса на 2 единицы вверх вдоль оси Oy .







График функции получается из графика путем параллельного переноса вдоль оси абсцисс на единиц влево .





Г

рафик функции получается из графика путем сжатия вдоль оси Oy в 4 раза.

Уровень В.

Частная дидактическая цель : тригонометрических функций путем последовательного применения преобразований .

Методический комментарий для учащихся : постройте графики функций, выполнив преобразования.



График функции получается из графика путем параллельного переноса вдоль оси абсцисс на единиц вправо .



График функции получается из графика функции путем последовательного выполнения следующих преобразований:

1) параллельный перенос на единицы влево вдоль оси абсцисс

2) сжатие вдоль оси Оy в 4 раза.





График функции получается из графика функции , каждая ордината которого изменяется в -2 раза. Для этого выполняем следующие преобразования:

1) отображаем симметрично относительно оси Ox ,

2) растягиваем в 2 раза вдоль оси Oy .




последовательного выполнения следующих преобразований :

1) сжатиевдоль оси абсцисс в 2 раза ;

2) растяжение в 3 раза вдоль оси Oy ;

3) параллельный перенос на 1 единицу вверх вдоль оси ординат .





Уровень С .

Частная дидактическая цель : отработать навык построения графиков тригонометрических функций путем последовательного применения преобразований .

Методический комментарий для учащихся : укажите , какие преобразования нужно выполнить для построения графиков . Постройте графики .

1.

График функции получается из графика функциипутем последовательного выполнения следующих преобразований:

1) отображение симметрично относительно оси Ox ,

2) сжатие в 2 раза вдоль оси Oy;

3) параллельный перенос на 2 единицы вниз вдоль оси Оy.





2.

График функции получается из графика функции последовательного выполнения следующих преобразований : получается www . aiportal . ru / services / graph . html

Графики тригонометрических функций

• Функция у = sin x, ее свойства

• Преобразование графиков тригонометрических функций путем параллельного переноса
• Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и расширения

• Для любознательных…
• Автор

Графиком функции у = sin x является синусоида

y = sin x

Свойства функции :

• D(y) =R 2. Периодическая (Т=2  )

3. Нечетная ( sin(-x)=-sin x) 4. Нули функции:

у=0, sin x=0 при х =  n, n  Z

0 при х   (0+2  n ;  +2  n) , n  Z у при x   (-  +2  n ; 0+2  n), n  Z" width="640"

Свойства функции у = sin x

y = sin x

5. Промежутки знакопостоянства :

у 0 при х   (0+2  n ;  +2  n ) , n  Z

у при x   ( -  +2  n ; 0+2  n), n  Z

Свойства функции у= sin x

6. Промежутки монотонности :

функция возрастает на промежутках

вида:  -  /2 +2  n ;  / 2+2  n   n  Z

Свойства функции у= sin x

Промежутки монотонности:

функция убывает на промежутках

вида:  /2 +2  n ; 3  / 2+2  n   n  Z

Свойства функции у = sin x

x min

x min

x max

x max

7 . Точки экстремума :

x мах =  / 2 +2  n , n  Z

x м in = -  / 2 +2  n , n  Z

Свойства функции у = sin x

8 . Область значений :

Е(у) =  -1;1 

Преобразование графиков тригонометрических функций

• График функции у = f (x +в) получается из графика функции у = f(x) параллельным переносом на (-в) единиц вдоль оси абсцисс
• График функции у = f (x )+а получается из графика функции у = f(x) параллельным переносом на (а) единиц вдоль оси ординат

Постройте график

Функции у = sin(x+  /4 )

y = sin x

вспомнить

правила

Постройте график

функции: y=sin (x -  /6)

y =sin (x+  /4 )

Постройте график

функции:

y = sin x + 

y =sin (x -  /6 )

y= sin x + 

Постройте график

функции: y=sin (x +  /2)

вспомнить

правила

Графиком функции у = cos x является косинусоида

sin(x+  /2)=cos x

Перечислите свойства

функции у = cos x

путем сжатия и растяжения

• График функции у = k f (x у = f(x) путем его растяжения в k раз (при k1) вдоль оси ординат
• График функции у = k f (x ) получается из графика функции у = f(x) путем его сжатия в 1/k раз (при 0 вдоль оси ординат

путем сжатия и растяжения

y=0.5sinx

вспомнить

правила

путем сжатия и растяжения

• График функции у = f (kx ) получается из графика функции у = f(x) путем его сжатия в k раз (при k1) вдоль оси абсцисс
• График функции у = f (kx ) получается из графика функции у = f(x) путем его растяжения в 1/k раз (при 0 вдоль оси абсцисс

путем сжатия и растяжения

y = cos2x

y = cos 0.5x

вспомнить

правила

путем сжатия и растяжения

• Графики функций у = -f (kx ) и у=- k f(x) получаются из графиков функций у = f(kx) и y= k f(x) соответственно путем их зеркального отображения относительно оси абсцисс
• синус – функция нечетная, поэтому sin(-kx) = - sin (kx)

косинус –функция четная, значит cos(-kx) = cos(kx)

путем сжатия и растяжения

y = - 3sinx

y = 3sinx

вспомнить

правила

путем сжатия и растяжения

y=-2cosx

вспомнить

правила

путем сжатия и растяжения

• График функции у = f (kx+b ) получается из графика функции у = f(x) путем его параллельного переноса на (-в /k) единиц вдоль оси абсцисс и путем сжатия в k раз (при k1) или растяжения в 1/k раз (при 0 вдоль оси абсцисс
• f (kx+b) = f (k(x+b/k))

путем сжатия и растяжения

y= cos(2x+  /3)

y= cos(2(x+  /6))

y= cos(2x+  /3)

y= cos(2(x+  /6))

y=cos(x+  /6)

Y= cos(2x+  /3)

Y= cos(2x+  /3)

вспомнить

правила

Для любознательных…

Посмотрите как выглядят графики некоторых других триг. функций :

y = cosec x или y= 1/ sin x

читается косеконс

y = 1 / cos x или y=sec x

( читается секонс)

О тригонометрических функциях можно почитать в работах :

• Определение тригонометрических функций

• О периодах тригонометрических функций

• Графики синуса и косинуса
• Графики тангенса и котангенса
• Формулы приведения
• Простейшие тригонометрические уравнения

Учитель математики

Державинского лицея

г. Петрозаводска

Присакарь

Ольга Борисовна

(mail : [email protected])

• Напишите мне ваши

Конспект урока алгебры и начала анализав 10 классе

по теме: «Преобразование графиков тригонометрических функций»

Цель урока: систематизировать знания по теме «Свойства и графики тригонометрических функций у=sin (x ), у=cos (x )».

Задачи урока:

• повторить свойства тригонометрических функций у=sin (x ), у=cos (x );
• повторить формулы приведения;
• преобразование графиков тригонометрических функций;
• развивать внимание, память, логическое мышление; активизировать мыслительную деятельность, умение анализировать, обобщать и рассуждать;
• воспитание трудолюбия, усердия в достижении цели, интерес к предмету.

Оборудование урока:икт

Тип урока: изучение нового

Ход урока

Перед уроком 2 ученика на доске строят графики из домашнего задания.

Организационный момент:

Здравствуйте, ребята!

Сегодня на уроке мы будем преобразовывать графики тригонометрических функций у=sin (x ), у=cos (x ).

Устная работа:

Проверка домашнего задания.

разгадывание ребусов.

Изучение нового материала

Все преобразования графиков функций являются универсальными - они пригодны для всех функций, в том числе и тригонометрических. Здесь же ограничимся кратким напоминанием основных преобразований графиков.

Преобразование графиков функций.

Дана функция у = f (x ). Все графики начинаем строить с графика этой функции, затем производим с ним действия.

Функция

Что делать с графиком

y = f(x) + a

Все точки первого графика поднимаем на а единиц вверх.

y = f(x) – a

Все точки первого графика опускаем на а единиц вниз.

y = f(x + a)

Все точки первого графика сдвигаем на а единиц влево.

y = f (x – a)

Все точки первого графика сдвигаем на а единиц вправо.

y = a*f (x),a>1

Закрепляем нули на месте, верхние точки сдвигаем выше в а раз, нижние – опускаем ниже в а раз.

График «вытянется» вверх и вниз, нули остаются на месте.

y = a*f(x), a<1

Закрепляем нули, верхние точки опустятся вниз в а раз, нижние – поднимутся в а раз. График «сожмётся» к оси абсцисс.

y = -f (x )

Зеркально отобразить первый график относительно оси абсцисс.

y = f (ax ), a <1

Закрепить точку на оси ординат. Каждый отрезок на оси абсцисс увеличить в а раз. График растянется от оси ординат в разные стороны.

y = f (ax ), a >1

Закрепить точку на оси ординат, каждый отрезок на оси абсцисс уменьшить в а раз. График «сожмётся» к оси ординат с обеих сторон.

у = | f(x)|

Части графика, расположенные под осью абсцисс зеркально отобразить. Весь график будет расположен в верхней полуплоскости.

Схемы решения.

1)y = sin x + 2.

Строим график у = sin x . Каждую точку графика поднимаем вверх на 2 единицы (нули тоже).

2)y = cos x – 3.

Строим график y = cos x . Каждую точку графика опускаем вниз на 3 единицы.

3)y = cos (x - /2)

Строим график y = cos x . Все точки сдвигаем на п/2 вправо.

4)у = 2 sin x .

Строим график у = sin x . Нули оставляем на месте, верхние точки поднимаем в 2 раза, нижние опускаем на столько же.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА Построение графиков тригонометрических функций с помощью программы Advanced Grapher.

Построим график функции у = -cos 3x + 2.

1. Построим график функции у = cos x .
2. Отразим его относительно оси абсцисс.
3. Этот график надо сжать в три раза вдоль оси абсцисс.
4. Наконец, такой график надо поднять вверх на три единицы вдоль оси ординат.

y = 0,5 sin x.

y = 0,2cos x-2

у = 5cos 0,5 x

y= -3sin(x+π).

2) Найди ошибку и исправь её.

V. Исторический материал. Сообщение об Эйлере.

Леонард Эйлер – крупнейший математик 18-го столетия. Родился в Швейцарии. Долгие годы жил и работал в России, член Петербургской академии.

Почему же мы должны знать и помнить имя этого ученого?

К началу 18 века тригонометрия была еще недостаточно разработана: не было условных обозначений, формулы записывались словами, усваивать их было трудно, неясным был и вопрос о знаках тригонометрических функций в разных четвертях круга, под аргументом тригонометрической функции понимали только углы или дуги. Только в трудах Эйлера тригонометрия получила современный вид. Именно он стал рассматривать тригонометрическую функцию числа, т.е. под аргументом стали понимать не только дуги или градусы, но и числа. Эйлер вывел все тригонометрические формулы из нескольких основных, упорядочил вопрос о знаках тригонометрической функции в разных четвертях круга. Для обозначения тригонометрических функций он ввел символику: sin x, cos x, tg x, ctg x.

На пороге 18-го века в развитии тригонометрии появилось новое направление – аналитическое. Если до этого главной целью тригонометрии считалось решение треугольников, то Эйлер рассматривал тригонометрию как науку о тригонометрических функциях. Первая часть: учение о функции – часть общего учения о функциях, которое изучается в математическом анализе. Вторая часть: решение треугольников – глава геометрии. Такие вот нововведения были сделаны Эйлером.

VI. Повторение

Самостоятельная работа “Допиши формулу”.

VII. Итоги урока:

1) Что нового вы узнали сегодня на уроке?

2) Что еще вы хотите узнать?

3) Выставление оценок.

Урок 24. Преобразования графиков тригонометрических функций

09.07.2015 5528 0

Цель: рассмотреть наиболее распространенные преобразования графиков тригонометрических функций.

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

sin х.

2. Найдите основной период функции:

3. Постройте график функции

Вариант 2

1. Основные свойства и график функции у = cos х.

2. Найдите основной период функции:

3. Постройте график функции

III. Изучение нового материала

Все преобразования графиков функций, изложенные подробно в главе 1, являются универсальными - они пригодны для всех функций, в том числе и тригонометрических. Поэтому рекомендуем повторить эту тему. Здесь же ограничимся кратким напоминанием основных преобразований графиков.

1. Для построения графика функции у = f (x ) + b надо перенести график функции на | b | единиц вдоль оси ординат - вверх при b > 0 и вниз при b < 0.

2. Для построения графика функции y = mf (x ) (где m > 0) надо растянуть график функции у = f (x ) в m раз вдоль оси ординат. Причем для m > 1 происходит действительно растяжение в m раз, для 0 < m < 1 - сжатие в 1/ m раз.

3. Для построения графика функции у = f (x + a ) надо перенести график функции на | a | единиц вдоль оси абсцисс - вправо при а < 0 и влево при а > 0.

4. Для построения графика функции у = f (kx ) (где к > 0) надо сжать график функции у = f (x ) в k раз вдоль оси абсцисс. Причем для k > 1 происходит действительно сжатие в к раз, для 0 < k < 1 – растяжение в 1/ k раз.

5. Для построения графика функции у = - f (x ) надо график функции y = f (x ) отразить относительно оси абсцисс (это преобразование - частный случай преобразования 2 для m = -1).

6. Для построения графика функции у = f (-х) надо график функции y = f (x ) отразить относительно оси ординат (это преобразование - частный случай преобразования 4 для k = -1).

Пример 1

Построим график функции у = - cos 3 x + 2.

В соответствии с правилом 5 надо график функции у = cos x отразить относительно оси абсцисс. По правилу 3 этот график надо сжать в три раза вдоль оси абсцисс. Наконец, такой график по правилу 1 надо поднять вверх на три единицы вдоль оси ординат.

Полезно также напомнить правила преобразования графиков с модулями.

1. Для построения графика функции y = | f (х)| надо сохранить часть графика функции у = f (x ), для которой у ≥ 0. Ту часть графика у = f (x ), для которой у < 0, надо симметрично отразить вверх относительно оси абсцисс.

2. Для построения графика функции у = f (|х|) надо сохранить часть графика функции у = f (x ), для которой х ≥ 0. Кроме того, эту часть надо симметрично отразить влево относительно оси ординат.

3. Для построения графика уравнения |у| = f (х) надо сохранить часть графика функции у = f (x ), для которой у ≥ 0. Кроме того, эту часть надо симметрично отразить вниз относительно оси абсцисс.

Пример 2

Построим график уравнения |у| = sin | x |.

Построим график функции у = sin x для x ≥ 0. Этот график по правилу 2 отразим влево относительно оси ординат. Сохраним части такого графика, для которых у ≥ 0. По правилу 3 эти части симметрично отразим вниз относительно оси абсцисс.

В более сложных случаях знаки модуля необходимо раскрывать.

Пример 3

Построим график сложной функции у = cos (2 x + |х|).

Напомним, что аргумент функции косинуса представляет собой функцию переменной х, и поэтому данная функция является сложной. Раскроем знак модуля и получим: Для двух таких промежутков построим график функции y (x ). Учтем, что при х ≥ 0 график функции у = cos 3 x получается из графика функции у = cos х сжатием в 3 раза вдоль оси абсцисс.

Пример 4

Построим график функции

Используя формулу квадрата разности, запишем функцию в виде График функции состоит из двух частей. При х > 0 надо построить график функции у = 1 - cos х. Он получается из графика функции у = cos x отражением относительно оси абсцисс и смещением на 1 единицу вверх вдоль оси ординат.

При х ≥ 0 строим график функции у = (x -1)2 - 1. Он получается из графика функции у = x 2 смещением на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс и на 1 единицу вверх вдоль оси ординат.

IV. Контрольные вопросы (фронтальный опрос)

1. Правила преобразований графиков функций.

2. Преобразования графиков с модулями.

V. Задание на уроке

§ 13, № 2 (а, б); 3; 5; 7 (в, г); 8 (а, б); 9 (а); 10 (б); 11 (а, б); 13 (в, г); 14; 17 (а, б); 19 (б); 20 (а, в).

VI. Задание на дом

§ 13, № 2 (в, г); 4; 6; 7 (а, б); 8 (в, г); 9 (б); 10 (а); 11 (в, г); 13 (а, б); 15; 17 (в, г); 19 (а); 20 (б, г).

VII. Творческое задание

Постройте график функции, уравнения, неравенства:

VIII. Подведение итогов урока

Алгоритм построения графиков График функции y = sin (x-a) можно получить параллельным переносом графика функции y = sinx вдоль оси Ох на а единиц вправо. График функции y = sin (x+a) можно получить параллельным переносом графика функции y = sinx вдоль оси Ох на а единиц влево.

0) можно получить из графика функции y = sin x его растяжением (при 00) можно получить из графика функции y = sin x его растяжением (при 0 7 Алгоритм построения графиков График функции y = sin (Кx) (К>0) можно получить из графика функции y = sin x его растяжением (при 01 сжатием в К раз) вдоль оси Ох. 0) можно получить из графика функции y = sin x его растяжением (при 0 0) можно получить из графика функции y = sin x его растяжением (при 01 сжатием в К раз) вдоль оси Ох."> 0) можно получить из графика функции y = sin x его растяжением (при 00) можно получить из графика функции y = sin x его растяжением (при 0 title="Алгоритм построения графиков График функции y = sin (Кx) (К>0) можно получить из графика функции y = sin x его растяжением (при 0

8 Сжатие и растяжение к оси ординат Построить график функции у = sin2 х Построить график функции у = sin K > 1 сжатие 0 1 сжатие 0 1 сжатие 0 1 сжатие 0 1 сжатие 0 title="8 Сжатие и растяжение к оси ординат Построить график функции у = sin2 х Построить график функции у = sin K > 1 сжатие 0

0) можно получить из графика функции y = sin x его растяжением (при К>1 растяжением в К раз) вдоль оси Оу. График функции y = Кsin (x) (К>0) можно получить из графика функции y = sinx его с" title="Алгоритм построения графиков: График функции y = Кsin (x) (К>0) можно получить из графика функции y = sin x его растяжением (при К>1 растяжением в К раз) вдоль оси Оу. График функции y = Кsin (x) (К>0) можно получить из графика функции y = sinx его с" class="link_thumb"> 9 Алгоритм построения графиков: График функции y = Кsin (x) (К>0) можно получить из графика функции y = sin x его растяжением (при К>1 растяжением в К раз) вдоль оси Оу. График функции y = Кsin (x) (К>0) можно получить из графика функции y = sinx его сжатием (при 01 растяжением в К раз) вдоль оси Оу. График функции y = Кsin (x) (К>0) можно получить из графика функции y = sinx его с"> 0) можно получить из графика функции y = sin x его растяжением (при К>1 растяжением в К раз) вдоль оси Оу. График функции y = Кsin (x) (К>0) можно получить из графика функции y = sinx его сжатием (при 01 растяжением в К раз) вдоль оси Оу. График функции y = Кsin (x) (К>0) можно получить из графика функции y = sinx его с" title="Алгоритм построения графиков: График функции y = Кsin (x) (К>0) можно получить из графика функции y = sin x его растяжением (при К>1 растяжением в К раз) вдоль оси Оу. График функции y = Кsin (x) (К>0) можно получить из графика функции y = sinx его с"> title="Алгоритм построения графиков: График функции y = Кsin (x) (К>0) можно получить из графика функции y = sin x его растяжением (при К>1 растяжением в К раз) вдоль оси Оу. График функции y = Кsin (x) (К>0) можно получить из графика функции y = sinx его с">

1 растяжение 0 1 растяжение 0 10 10 Сжатие и растяжение к оси абсцисс K > 1 растяжение 0 1 растяжение 0 1 растяжение 0 1 растяжение 0 1 растяжение 0 title="10 Сжатие и растяжение к оси абсцисс K > 1 растяжение 0

13 Сдвиг вдоль оси ординат Построить график функции у=sins+3 Построить график функции у=sins-3 + вверх - вниз y = sinx y = sinx + 3 y = sinx y = sinx Преобразование графика

X y 1 -2 Проверка: y 1 = sinx; у 2 = sinx + 2; у 3 = sinx